東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

●センター試験過去問の解説です。解き終わってから見てくださいね＾＾

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

センター試験が近づいてきましたので、本日からはセンター試験の過去問を題材に解説をしていきます。

※問題については、お手元の過去問集や、各種予備校のサイト、大学入試センターのHPなどから入手できますので、そちらをご覧下さい＾＾

おそらく、センター試験の過去問の解説やサイトの中で、最も「リアルな」解説になると思います。

【2015年数学IA 本試第５問整数】

実際に紙面上でKATSUYAが解いたものは、こちらにあります＾＾

ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。センター試験で解くときは、上の紫の部分さえ書けばOKです。

さて、本題です。整数の単元からは初登場のセンター試験ですが、個人的には、センター試験としては解きやすい単元なのかな、と思います。高校数学の中では「算数」に近く、ひたすら書き出して調べていけば答えが出せるという特徴を持っているので、答案の不要なセンター試験では時間短縮が図れそうな分野です。

素因数分解はいいでしょう。基本は、「最初は２でわり続け、次は３でわり続け・・・」という、素数で順番に割っていきますが、割ると気づいたら、一気に割ります。

まず、下２ケタが「５６」ですから４で割れますし、ケタの和が１８ですから、９で割れます。これで時間短縮です＾＾

センター時短テク素因数分解　割れると気づいたもので一気に割る

約数の個数はいいですね。

（２）は中学の問題にもあります。指数が奇数のものを偶数に補充する必要がありますので、m＝21です。そのとき、２、３、７が２個、４個、２個ありますので、√をとればその半分ですね＾＾

（３）は１次不定方程式の解です。整数解系は、１次不定方程式なのか、積の形にするのかは分かりませんが、今後もどれかが出題されるでしょう。

今回は、１２６と１１というまあまあ大きい係数です。見つからなければユークリッドの互除法と併用するしかありませんが、基本的には見つかればこっちのもんです。

私はー２、ー２３という2数を見つけました。ここからがポイントです。答案ではここから４、５行ほど説明が必要ですが、不要ならすぐに一般解がかけます。

k＝ー２、l＝ー２３が見つかりましたが、その後は、kは１１ごとに、lは１２６ごとに現れます。直線上の格子点をイメージすればすぐに分かります。従って、１組み見つかれば、いきなり「k＝ー２＋１１p、l＝ー２３＋１２６p」　と書けるわけです。

今回はp＝１だけを入れれば済みましたが、「lが３桁となるような解が何個あるか」「kが７の倍数となる最小の解は」といった問題も考えられます。そのようなときには、１組見つけてすぐに一般解を書くか、あるいはいくつか書き並べておくことも重要です。

例：ｋ＝－２、９、２０、３１、４２・・・　など

センター時短テク１次不定方程式
・１組見つけたら一般解をすぐに書く
・いくつか書き並べておく

（４）はm＝２１k^2にk＝９を代入するだけですね＾＾

本コーナーでは、過去問の解説などからは見えない部分を解説していくことで、他にはない、独特の観点から解説をしていきます。

関連するPrinciple Piece

Principle Piece 数学A 整数

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ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。センター試験で解くときは、上の紫の部分さえ書けばOKです。

本題です。2006年以降、単体としては姿を消した平面図形が復活しましたが、以前に比べると求積が主体となっています。2005年前は証明問題の穴埋めが主体でした。来年以降は何とも言えませんが、求積が踏襲される可能性が高そうです。

平面図形の場合は、図形にどんどんわかった長さを書き込んでいき、使える定理を探していく手法が基本です。定理を、「長さ」系の定理なのか「角度系」の定理なのかに自分で分けておくといいでしょう。

センター時短テク平面図形の定理を「長さ系」と「角度系」に分けておく

最初は、CE・CBです。式の形や、円と直線が絡んでいることから「方べき」ですね。方べきの定理は、すべて交点から出発しますから、右辺も絶対にC●・C■のはずです。AとDしかありませんね＾＾；

次は重心です。「いきなり＾＾；」感が強いと思いますが、そのようなときは、「何か特別な状況」があります。BがECの中点でしたので、AB上にGがあると気づけば終わりです＾＾

次のDP／PEは差が出そうです。式の形から、「チェバかメネラウスの適用なのでは」と気づけばOKですね＾＾　

３直線が１点で交わるところはないので、チェバではないので、メネラウスと予想できます。どの三角形とどの直線か、考え込むことも多いと思います。求めたい比であるD,P,E上の辺は、三角形の辺である必要がありますから、そこから絞り込みましょう。

長さの比を求めさせる問題は、旧課程の三角比との融合のときから出ていました。以下の定理のいずれかを適用すると思っておくといいでしょう。

センター時短テク「AB:BC」「AB/BC」はどちらも比を聞かれている
[1] チェバ、メネラウス
[2] 円周角相等から導かれる三角形の相似(方べきの証明過程)

上記[2]に関しては、こちらの原則とも併用します。

Principle Piece A-85円と２直線絡みは方べきと同時に相似を思い出す

(Principle Piece 数学A 平面図形　p.42　図は割愛)

(新版、旧版で記載ページおよび番号が異なる可能性があります)

後半では、円周角による辺の比を利用した相似を使っています。前半と合わせると、まさに上のテクニックを両方使っています。

ここまで出来れば、最後はできますね＾＾

本コーナーでは、過去問の解説などからは見えない部分を解説していくことで、他にはない、独特の観点から解説をしていきます。

関連するPrinciple Piece

Principle Piece 数学A 平面図形
(円と直線が絡んだときの三角形の相似一覧を原則にしています＾＾)

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【2015年数学IIB 本試第１問 [1] 三角関数】

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OPは計算するまでもなく２です。半径２の円周上の点です。また、PQの長さも、ベクトルして成分を考えればすぐに１だと分かります。数秒でできますね＾＾；

OQも、２乗があるから展開するだけです。問題の流れからして、ここを間違えるとかなり危ないので、ここは慎重に行いましょう。４（・・・）の中はcosの加法定理です。穴埋めの形からしても、すぐに見抜けるでしょう。

あとは、cos６θの範囲が分かればOKです。答案だと６θの範囲がどーちゃらこーちゃら書くことになりますが、単位円の図さえ書けばすぐに分かります。「キ」は答えを直接そこにかけますね。

センター時短テクθの範囲や解は単位円を書いて判断する

（２）の一直線上は、選択肢の中から選ぶだけなら、一瞬です。Pの座標を代入して成り立つものが答えです。ですので、答案はほぼ不要となります。

ただまともに解くにしても、もうすこしズルく行きたいです。
比例のグラフで（３、４）を通ると直線の式言われたら、y＝4/3x　と書く人が多いですが、４x－３y＝０　ともかけます。x、yの座標を入れ替えて係数にするだけです。当たり前ですよね＾＾

これにQの座標をいれると、今度はsinの加法定理の式が出てきますね。

最後は直角となる条件です。三平方の定理に気づかないと厳しいですが、OPとPQは両方長さが分かっていますので、この２つを利用すれば簡単に出せます。

最後の方程式も、単位円でさくっと解決しましょう。

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Principle Piece 数学II 三角関数
Principle Piece 数学II・B 第1回センター模試
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今年の指数対数は少し趣向が違って、戸惑った人も多いかもしれませんが、「x ×y^2=18、 x^2×y^3=96」　となるx、yを求めなさい。と言われたら出来るハズです。x＝２^●×3^▲、y＝2^○×3^△という形にして、●、▲、○、△をだせばOKです。これが文字になっているだけですね＾＾

また、かけ算だけの式なので、logを取ると連立方程式が見やすくなるかもしれません。私はlogをとりました。

ここでx、yが出せればあとはbとａの関係式も丁寧に入れるだけです。最後は相加・相乗平均です。（問題文にもありますね＾＾；）

センター試験は、なぜか指数・対数のところで相加・相乗が一緒に出てくるので、常にアンテナをはっておきましょう。

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Principle Piece 数学II 指数関数・対数関数
Principle Piece 数学II・B 第1回センター模試
Principle Piece 数学II・B 第2回センター模試

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ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。センター試験で解くときは、上の紫の部分さえ書けばOKです。

自分解いた答案と比べてみてください＾＾

さて、本題です。最初に微分係数の定義を聞いてきました。これに戸惑った人もいるようですが、微分係数の定義は「公式」ですから、知らないほうが問題です。

文字入りの平均変化率の計算ですが、数IIの範囲であれば分母は必ず約分できます。知っておくと計算も早いですし、ミスに気づけますので、検算に使ってください。

センター時短テク平均変化率は「h」で約分できると思っておく

また、「ウ」と「エ」は一瞬で、直接答えをかけます。なお「エ」は、要はf’（ａ）の値ですから、平均変化率や微分係数の定義に戸惑ったとしても、答えられるはずです。センター試験は、「答えが合えば点がもらえる試験」であることを常に意識しましょう。

（２）以降は、例年並みの微積が並びます。接線の式ですが、原点を通る２次関数　「y=px^2」　については、y切片は接点のy座標の符号違いで、x切片は接点のx座標の半分です。

センター時短テク原点を通る放物線の接線なら暗算で

これを利用すれば、「オ」～「ク」が一瞬で埋まります。計算不要です。私が解いた答案で計算過程がないのは、そのためです。

直線mの式だけちょこっと計算すればOKですね＾＾

後半は積分絡みの面積。APQの面積「S」に少し戸惑ったかもしれませんが、ここで詰まると全滅なので、ちょっと意地悪。三角形の面積に戸惑った場合は、迷わずどれかを原点に移動させて、準公式を使いましょう。

センター時短テク座標上の三角形の面積なら｜ad-bc｜でやってしまう

記述答案では、底辺と高さが出しやすい三角形の差でやっています。実際は上の時短テクが速いです＾＾

「T」は、APの式が出ていれば積分式一発ですが、式が分かっている「l」だけで済ませたいので、ABPから引いています。

接線と放物線で囲まれる部分は積分で出しやすいことも、「l」を使う理由の一つです＾＾

こちらは原則としてすでに紹介していますが、非常に使い勝手のいい積分（準）公式です。

Principle PieceII-115放物線と接線絡みは、以下の手順で
[1] 放物線-接線＝ａ(x-接点)^2
[2] a(x-接点)^2　を積分すると a/3・(x-接点)^3

(Principle Piece 数学II pp.34-37)

(新版と旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。)

センターでは、わざわざ[1]の作業は不要です。自分でそんなことはわかっていますので、[2]の積分した式から書けばOKです＾＾

「S-T」の増減を調べるときは、微分して増減表を書きますが、センターであれば増減表は不要であることが多いです。問題文の形（最小になるａの存在は明らか）や、S'(a)＝０となる「ａ」の値、さらにａ＞０であることも踏まえれば、明らかにａ＝１で極小かつ最小、ということになります。記述答案では、それを確認しているだけです。

従って、センターでは、S'(a)=0　となるａの値を求めたら、範囲にあっているものを代入すれば答えは出せます＾＾

センター時短テク増減表は不要　問題文に合わせて極小(最小)や極大(最大)はさっさと決めてしまう

センターの微積は、テクニック次第でかなり時短を図れます（私は実際にといたとき、この問題にかかった時間は９分です）。記述で

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関連するPrinciple Piece

Principle Piece 数学II 微分
Principle Piece 数学II 積分

Principle Piece 数学II・B 第1回センター模試
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自分解いた答案と比べてみてください＾＾

さて、本題です。数列はあまり省略すると、何を出しているか混乱する可能性がありますので、自分で余白に計算するときにも、「a_n＝」と必ず書くようにしておいた方がいいと思います。「bn」、「cn」など新しく数列を定義したり、「n」なのか「ｎ＋１」なのかが微妙なときには、威力を発揮します。

最初の４つはいいですね。１の位だけなら暗算です。

次ですが、問題の意図からして、４つおきに繰り返しですから、「ｎ＋４」をさくっと選べます。周期数列になれていると１秒です。

なお、数列の時短テクではありませんが、いかなる数字であっても、●^mと●^m+4　は常に一致します。周期は、１、２、４のどれかです。IAの「整数」でも使えそうですので、知っておいて損はないでしょう。

センター時短テク●の「m乗」と「m+4乗」は１の位が一致する

４つおきに同じということは、適当に４連続取れば、順番はともかく「２、４、８、６」が現れるということです。よってこれをかけ算したものが「キ」に入ります。考え方は頭でやり、実際には、２・４・８・６を素因数分解するだけでOKです。

「カ」は漸化式を繰り返し使って、４・４・４・４が入るんだろうなぁと考えられるので、すぐに「２の８乗」とできます。こちらも計算不要です。

あわせて、「クケ」もほぼ暗算でできます。

４つおきに公比が３／２の等比数列と分かりましたので、項を４で割った余りで分け、一般項を出しています。これが分かれば、「ソ」までは各グループの初項を出すだけです。

例えば、b_{４k－１}というのは、k=1を入れたb_3（これが初項）から始まる４つおきの数列ということになります。

数列については、よく分からかったらk＝１、２・・・を入れてみれば分かります。

センター時短テク数列は、わからなくなったらk=1,2・・・を入れて推定する

後半は、和と積の計算です。周期数列の扱いに慣れてないとつらい数式が続きます。今回のような４つおきに等差、または等比の関係にある数列は、１周期目の和と2周期目の和を見れば、「等差数列は等差数列」に、「等比数列は等比数列」になります。

従って、1周期目の和と２周期目の和を見るだけで、初項と公差（または公比）はわかるということです＾＾

センター時短テク周期数列の和・・・周期がnならn個ずつ2周期分足してみる

これを使うとSmは出せます。

（４）の積は周期関数とあまり関係ないです。「ツ」「テ」はすぐにわかると思いますが、これをn回かけ算するということです。指数はかけ算では足し算になりますので、４（k－１）のΣをとれ、ということですね。この程度であれば、出来れば暗算がいいでしょう。

積のときも和と同じで、よく分からなければk=1,2　あたりを入れてみてください。形からして等比なのは目に見えていますので、「ツ」「テ」を出すだけならk＝１を入れるだけで十分です。

最後のT10は、計算時間を稼がれるだけの問題です。T8であれば出せますから、あとb９・b10をだします。まともに計算するのではなく、答えの形をきちんと見ておきましょう。2^4=１６　などとすると２度デマです。

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Principle Piece 数学B 数列

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自分解いた答案と比べてみてください＾＾

最初の「ア～ウ」は直接書き込めます。次の「エ」も、誘導がありますから、その続きから自分で書いて計算すればいいでしょう。

a・b内積とOP、OQの内積も、出来れば暗算で直接書き込みたいところです。なす角が60°、120°のときは頻出です。

内積＝０を利用して係数を求めるときは、分母を払っておくと計算ミスしにくくなります。OP・OQの計算では、１／３を先に出してしまいましょう。

センター時短テク内積は分母を払って計算する

続いて、長さを出す問題ですが、長さを出すときは分母を払ってはいけません。ただし、前に出すのはOKです。私は前に出さずに計算していますが、分母が大きい時は出してみてもいいでしょう。

また、内積は絶対値の求積の際には、|a|^2、|b|^2、a・b　をどこかに書いて計算の準備をしておきましょう。平面ベクトルにおける原則ですね＾＾

Principle Piece B-28平面ベクトルは、2つの大きさと内積を求めれば全て求まる

OPQは直角なのですぐに出せます。√２１＝√７・√３　としておくと前に出しやすいです＾＾

後半は交点の問題です。一方の直線に基点の「O」が入っていますので、「実数倍」と「係数の和が１」でできます。「r、sを求めよ」ということですが、交点の係数は連立して同時に出すものです。形式にまどわされて、順番に出すことにこだわらないように。

センター時短テク交点の係数は、聞かれ方を気にせず連立して同時に出す

そしてこれでOTも出せます＾＾

ここで、ベクトル既習者なら誰でも抱くのは、「交点の連立解は分数なので合っているかどうか不安」という感想です。私もそうです。そんなときに役立つのは、やはり図です。図がある程度正確であれば、解が合っているかどうかだいたいは分かります。

「r＝７／９」から、TはORのかなりRよりです。また、sの値から、PT:TQ＝１：２です。図から読み取れる内容と差がありませんので、「まああっている」と思って進んでいいでしょう。

センター時短テク交点の連立解は、図をある程度正確に書いて検算せよ

最後は面積比です。面積比はもちろんですが、線分比を利用してだします。先ほど読み取った、「r」、「s」から読み取れる線分比です。

Principle Piece B-34位置特定における面積比　→「線分比＝面積比」で

その際、再び、「r」、「s」の情報が有効活用できます。「r」、「s」はOTを出すために設定した文字ですが、線分比を明確にする役割も持っています。OTが出ても利用できることをしっかり意識してください。

「r」や「s」が出た際に、比の情報を書き込んでおくようにしましょう。

センター時短テク交点解の情報はすぐに線分比として書き込んでおく

答案では、どの三角形に対して、どこの線分比を比べているかを書いていく必要がありますが、センターでは不要。数値をどんどん書いて計算していきましょう。

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Principle Piece 数学B ベクトル

Principle Piece 数学II・B 第1回センター模試
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

本エントリーは、実際にKATSUYAが解いたセンター試験の解答になります。マーク式なので丁寧な解答にはなっておりませんが、どのように私がといているのか、生の解答(途中など)をご覧いただけばと思います。

少しでも参考になれば、幸いです＾＾

※新課程の内容が入っているということで、【2015年の追試】をUPすることにしました。解いていない人は、解き終わってから見てくださいね＾＾

※問題は、大学入試センターなどから入手できます。

「いや、ここはこうした方が早いぞ！」という部分があると思った人は、コメントいただけると幸いです。みなさんのさまざま意見（解き方）は、読者の皆様にとって、お互いに情報となっていきます。いろんな解き方を教えてください＾＾

■関連記事■

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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

本エントリーは、実際にKATSUYAが解いたセンター試験数学II・Bの解答になります。マーク式なので丁寧な解答にはなっておりませんが、どのように私がといているのか、生の解答(途中など)をご覧いただけばと思います。

少しでも参考になれば、幸いです＾＾

※数学IAと合わせて、数学IIBも【2015年の追試】をUPすることにします。

問題は、大学入試センターのページなどから入手できます。

■関連するPrinciple　Piece■

Principle Piece　数学Ⅱ　指数・対数関数
(第1問[1]対応)

Principle Piece　数学Ⅱ　三角関数
Principle Piece　数学Ⅱ　図形と式
(第１問[2]対応)

Principle Piece　数学Ⅱ　微分
Principle Piece　数学Ⅱ　積分
(第２問対応)

Principle Piece　数学B　　数列
(第３問対応)

Principle Piece　数学B　ベクトル　(平面、空間ともに収録)
(第４問対応)

来年受験する人は、ご活用ください＾＾
Principle　Piece　第１回センター模試数学ⅡB
Principle　Piece　第２回センター模試数学ⅡB

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「ア～エ」は、平行移動後の２次関数を－１／４を前に出して因数分解する問題です。これを見越して、すぐに－１／４でくくれば見えてきますね＾＾

なお、因数分解できるということは、最低でも１つ、解があるということです。これが次の（１）に活かされます。

（１）は、解の存在範囲の問題。解の存在範囲については、原則通りに解いていけば問題ありません。

Principle Piece I-32解の存在範囲 →グラフで考察

（拙著シリーズ「数学I ２次関数」p.44）

（新版、旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。）

センターでも頻出です。３条件をささっと書けるようにしましょう。極力日本語を避け、必要な数式だけを書きます。

センター時短テク解の存在範囲　グラフと３条件だけを書く

ここで、D＞０の解き方ですが、意味は「２解を持つ」です。因数分解できていますので、解「－５ａ-４」と「３ａ+４」が等しくなければOKです。Dの計算をせずとも、分かります。

軸は平方完成した形を見ればOKです。

また、グラフは上に凸なので、範囲の端っこのx＝ー９、x＝１１でともに負です。今度は因数分解した方に入れます。ここを間違えると、自力で因数分解するのは少し大変です。

２次関数で値を入れる際、何でもかんでも平方完成した方に入れるのはやめましょう。普通の式に入れた方が速いときも多いですよ＾＾

センター時短テク軸のときは平方完成した式に代入
それ以外の値は基本的に平方完成した式には入れない

特に今回は、x＝ー９やx＝１１を代入した後に「ａ」について因数分解しますから、因数分解型に入れた方がいいのは目に見えていますね＾＾

（２）は最後はただの平方完成です。－１／４を中に入れてしまうと少し係数がウットウしいので、中で平方完成してしまいましょう。

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Principle Piece 数学I ２次関数

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【2015年数学IA 本試第２問 [2] 三角比】

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[1]　必要十分については、あまりいい加減に考えると見落とします。慎重に考えましょう。かならず。p→←r　のように書き、どちらもよく考えてから答えを出してください。

真のときは証明はいりません。頭のなかで自分が納得していればOK。

センター時短テクp→←q　はきちんと書く　真の証明はもちろん不要　

後半の不等式ですが、「ａ」を含むときは、数直線上動かしてみるといいでしょう。こちらも答案は不要で、どこにあればいいかを判断できたら、すぐに不等式を作りましょう。

センター時短テク定数入り不等式は数直線上で動かしてみる

[2]

三角比は穏やかでした。まずは毎年使うべきテクニックです。

センター時短テク図は①「大きく」、②「余白を空けて」、③「出来れば正確に」

√が入っている長さも、√３＝１．７３　などを利用して、おおよその３辺の長さを判断して書けるようになるといいです＾＾

cosからsinでは、数字も複雑ではないので、出来れば暗算レベル。数IAではsinは正なので、符号の心配もありません＾＾

外接円の半径が分かっているので、sinが分かれば対辺も分かります。次のABはCAと並んで聞かれていますが、「方程式余弦定理」を使う必要があります。

Principle Piece I-44余弦定理は角度が分かっている部分に適用する

(Principle Piece 数学I　三角比 p.25)
新旧版で記載ページや番号が異なっている可能性があります。

ここまで出れば、面積はOKでしょう。最後は、直径があるので、円周角が直角→三平方を使えないか　という思考のリズムに載せればOK。どこの２乗からどこの２乗を引くかなどは自分で分かっていれば不要です。

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Principle Piece 数学A 論理と集合
(無料です＾＾)

Principle Piece 数学I 三角比

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ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。当たり前ですが、データ分析では、答案の日本語の部分は全て頭で考えるようにしましょう。

本試験と同様に、たくさんの箱ひげ図が出てきましたので、このタイプは今後練習を積んでおくべき問題です。

このような場合には、箱ヒゲ図の性質を用いたテクニックを用いましょう。

センター時短テク箱ひげ図から読み取れる内容はQ1～Q3と最大・最小だけ

後半は、自動車台数と人口の関係で、途中から傾向から分かれるというデータを読み取る問題。厳密には教科書のレベルを若干超えているような気がしますが、社会の資料読み取り問題と捉えれば、実はそんなに難しくありません。ここは逆に、あまり慌てて取り組まずに、落ち着いて選択肢を読んで、消去法で確定させていきましょう。

最後の問題が新傾向です。データの分析の基本とも言える部分で、分析したいものに応じて、何と何の関係を見る必要があるか、というものです。

本問については非常に単純で、人口に対する（ひとりあたりの）自動車保有台数ですから、人口と保有台数のデータが欲しいのは当然です。それ以外のデータは明らかに不適切です。

都道府県ごと販売台数はなぜだめなのかですが、他県からのお客様もいますし、企業が法人として購入している場合などもあります。やはり、言葉が異なるものは選ばないほうがよさそうです。

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ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。センター試験で解くときは、上の紫の部分さえ書けばOKです。

さて、本題です。センター試験における場合の数や確率では、ルールが少し複雑な傾向にあります。最初の設定はしっかり読み込みましょう。

今回は、mとnの違いをまずきっちりおさえておく必要があります。「m」はただの回数なので、反復試行が使える数値ですが、「n」は違いそうだ、と思っておきましょう。

また、今回は「白」か「黒」のみが４回並ぶだけです。白と黒の確率は違いますが、並びだけであればたった１６通りしかありませんので、いざとなったら全部調べれば良い、ぐらいに最初に思えると、ぐっと満点を狙いやすくなります。

センター時短テク全事象が少ない場合は書き出しも想定しておく

（１）はいいでしょう。ただの反復試行です。３、４の累乗ぐらいなら暗算がベスト。

（２）も、書き出せばすぐにわかりますので、「しししく」、「くししし」とだけ書いて、とっとと計算に入りましょう。

※これは個人的な意見ですが、白と黒を英語のイニシャルをとって「W」と「B」と書く人が多いようですが、日本人であれば「し」「く」の方が分かりやすいと思います。

（３）は少し慎重に。白が３回出ることもありえます。２回のときは、それが連続するような並びを考えればOK＾＾　ここもすべての場合を書き出して、計算を始めましょう。

（４）n=1は数えにくそうです。ｎ＝４，０はすぐにわかりますので、余事象がよさそうです。本試験と同じで、「最後は余事象」が追試でも見られましたね＾＾

センター試験では、「最後の確率を余事象で出すために頑張る」流れをよく見かけますので、アンテナを貼っておきましょう。

センター時短テクこれまでの結果を利用して「余事象」の利用も

本コーナーでは、過去問の解説などからは見えない部分を解説していくことで、他にはない、独特の観点から解説をしていきます。

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さて、本題です。整数の単元からは初登場のセンター試験ですが、個人的には、センター試験としては解きやすい単元なのかな、と思います。高校数学の中では「算数」に近く、ひたすら書き出して調べていけば答えが出せるという特徴を持っているので、答案の不要なセンター試験では時間短縮が図れそうな分野です。

最初の因数分解はとっとと、ですね。そこから先も、答案では「p－２＝１３k・・・・」などと書いていきますが、ここはむしろ頭の中の方がすらすらいくところですので、不要です。「ケ」までは、ほぼ答案不要なのではないでしょうか。

後半は１次不定方程式の解です。本試験に引き続き出題されました。整数解系は、１次不定方程式なのか、積の形にするのかは分かりませんが、今後もどれかが出題されるでしょう。

今回は、１３と１７というまあまあ大きい係数ですが、演習量が多い人には、x＝４、y＝３がすぐ見つかると思います。見つからなければユークリッドの互除法と併用するしかありませんが、基本的には見つかればこっちのもんです。

１組みつけたところからがポイントです。答案ではここから４、５行ほど説明が必要ですが、不要ならすぐに一般解がかけます。

x＝４、y＝３が見つかりましたが、その後は、xは１７ごとに、yは１３ごとに現れます。直線上の格子点をイメージすればすぐに分かります。従って、１組み見つかれば、いきなり一般解を書けます。

こちらも本試験に引き続き、使えたテクニックです。

センター時短テク１次不定方程式
・１組見つけたら一般解をすぐに書く
・いくつか書き並べておく

なお、中学受験を経験している私立校の人は、ほぼ１００％、無意識に使っていると思います。算数でそのような問題を何百回とやっているからです。

最後は教科書の応用例題にもある問題です。１次不定方程式に帰着させます。こちらは、（右辺）＝１２なので、さっき見つけた１組を１２倍すれば、やはり一般解はすぐ出せますね＾＾　xだけ出せば「n」は出せます。

整数問題は全体的に算数の計算なので、書くのはなるべく最小限の計算だけにとどめて、早めに通過したいですね＾＾

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本題です。2006年以降、単体としては姿を消した平面図形が復活しましたが、以前に比べると求積が主体となっています。2005年前は証明問題の穴埋めが主体でした。来年以降は何とも言えませんが、求積が踏襲される可能性が高そうです。

まずは図をなるべく正確に書き、AB、ACはとっとと暗算で出しましょう。内接円の半径も面積との関係（三角比でよく使います）で出せます。

センター時短テク図形はなるべく大きく、正確に書いておく

接点についても、求めるべきところを「x」として、ぐるっと一周書き込めばOK。

Principle Piece A-84内接円との接点「x」「y」「z」の３連立

(Principle Piece 数学A 平面図形　p.42　図は割愛)

(新版、旧版で記載ページおよび番号が異なる可能性があります)

答案だと上記の原則にしたがってだらだら書きますが、センターでは図に書き込んで１させればすぐに方程式がつくれます。

また、OCも三平方の定理を用いればすぐにできます。ざっとここまでで３分程度で済むでしょう。

それに引き換え、最後は少し難易度高めです。今回のように、三角形の中に内接円を複数書き込んでいる場合は、直角三角形の相似が多く見られます。それを利用しましょう＾＾

平面図形の問題や三角比の問題でも基本ですが、途中で分かったことは、かならず図に書き込みましょう。そこで図を見ていると、他のことにも気づきやすいです。分かっても書いていないと気づかないこともありますので。

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2015年は本試験の指数対数は少し趣向が違いましたが、追試は例年より簡単めで、かつ連立方程式という典型タイプで、点数が取りやすいです。

また、前半は、とにかく誘導に従って方程式を解いていくだけです。置き換えになれていれば、ほとんど空欄に答えを直接かけるレベルでしょう。

wの置き換えなどなくても、②は底の変換をすると思いますが、置き換えのおかげで１問稼げますね＾＾　よって、y、zまではほぼ誘導を読んで流れに身を任せるだけです。

最後は、log(2)9　の評価です。これに１．５を足すので、０．５刻みで評価しないと整数部分が読めませんね。　なので、８と８√２　（log２をとると０．５の差が出るもの）を使って評価しています。丁寧にかかずとも、「３と３．５の間」と分かれば、もう最後は答えが出せます。

指数・対数のセンター（特に連立方程式タイプ）は、このように誘導に身を任せるだけでどんどん答えが出せるものが多いです。底の変換やlogの計算など、ピンポイントで必要な部分だけを計算すれば、かなり時間が短縮できます。

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追試は、図形と式です。本試験では2年前に久しぶりに出て面食らった人もいるかもしれませんが、今年も本試験は三角関数と融合されているように見えましたし、今後も融合タイプを視野に入れておく必要がありそうです。

図形の問題ですから、まずは状況をしっかり読んで、図をなるべく正確に書きましょう。接線のなす角がπ／３から大きくずれた図を書いてしまうと、ミスを誘発しかねません。

傾きが－４／３になるように合わせて書くのは難しいと思いますが、明らかに負の傾きにならないような直線になってしまったら書き直すなど、ある程度は図に時間をかけたほうが、その後の問題は見通しがいいです＾＾

センター時短テク図は、時間をかけてでもなるべく正確に書く

ここを正確に書ければ、（２）まではほぼ計算不要で直接書き込めます。答案では丁寧に書く必要がありますが、OAPは１：２：√３の直角三角形ですので、簡単に出せます。また、OPの傾きから、３：４：５の直角三角形も出てきて、長さが１０なら（８、６）だな、とすぐにわかります。

センター時短テク1：2：√3、3：4：5、5：12：13などは積極的に活用する

OPAQはたこ型（隣り合う２組の辺が等しい四角形）なので、PQとOAを引くことで、直角三角形の相似もたくさんできます。数学Aの平面図形などでも使えそうな知識です＾＾

OPRも１：２：√３なので、ORも出ます。OPの１／４倍なので座標も１／４倍すればOK。内分点の公式を使うまでもなく、Rの座標まで暗算可能ですね＾＾　直線の式はｙ＝ｍ（ｘ－ａ）＋ｂに当てはめながら計算しましょう。

最後は連立。係数的には、計算を覚悟するところですね。

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(14分もかかってしまいました。S2の面積を２回、計算ミスして最後が合わなかったのが原因＾＾；)

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自分解いた答案と比べてみてください＾＾

さて、2015年本試験は最初に微分係数の定義を聞かれていましたが、追試の前半は図形的な問題です。

まず接線についてです、微分したものに「ａ」を代入するぐらいは頭でやり、y=-2a(x-a)+1-a^2　ぐらいが一気に書けるとベスト。

距離公式はいいでしょう。絶対値は、問題文で外れていますから、試験場では素直に従えばOK。

次の変換は少し理系的で難しかったでしょうか。積分計算をするときなどはよくやりますが、相加相乗が使える形に変形をしています。この形はニュータイプですので、今後要注意です。

相加相乗ができれば前半はクリアできます。等号成立なども、答案ではないので、とっとと穴埋めしていきます。

後半は積分をもちいた面積です。まず、直線の方程式ですが、傾きと通る点を出しましょう。傾きbが分かれば、ほぼ暗算です。

S1は６分の公式です。穴埋めならラッキー問題ですね＾＾

センター時短テク６分の公式は途中式不要。一気に答えを！

穴埋めからして、（２－b）^3の展開だな、と思えればOK。

S2はコツコツやるしかなさそうです。次数でそろえて引き算すると計算ミスしにくいと思います。ここをミスするとその後全滅なので、「多少は時間をかけるところ」と判断するべきです。

あとは微分して＝０になるものが最小値です。本当は増減表がいりますが、あるとすれば間違いなくS'=0が極小になるときです。答えの形からも、定義域の端っこのb＝１でないことは明らか。

センター時短テク増減表は不要　問題文に合わせて極小(最小)や極大(最大)はさっさと決めてしまう

センターの微積は、テクニック次第でかなり時短を図れます。

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自分解いた答案と比べてみてください＾＾

さて、本題です。追試験は本試験同様、漸化式からの出題です。本試験に比べれば手が付けやすいと思いますが、絶対値がついていたりと、誘導なしでは２次でも手こずりそうな問題です。

複雑な漸化式の場合、最初の２、３項ぐらいを聞いてきますので、ここは落とさず計算をしていきましょう。

前半は階差型の数列ですので、「オ」は直接入ります。次も、階差数列かの公式を当てはめるだけです。そこからは文章に従って計算するだけですので、答えのところだけパパっと計算しましょう。nは自然数ですので、√の評価は必要。

後半は帰納法です。帰納法はほどんど文章が書かれているので、逆に穴埋めするだけです。その後の漸化式は、教科書レベルではないタイプで、誘導に従います。

Principle Piece B-13a{n+1}=pa{n}+(nの整式)
[1] 階差を取る
[2] an-f(n)　なるf(n)を見つける

ここでは、次の行を見るだけで、[1]のやり方だと判断できます。センター試験でのポイントは、どのやり方で解こうとしているのかを、素早く見極めることです。従って、どちらかのやり方だけを覚えておけばOKというのは、NGです。

センター時短テク解法が複数ある漸化式 → 方針を文章から見極める

ここまでできれば、あまり考えずに再び文章の空欄を計算していくだけですね＾＾

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自分解いた答案と比べてみてください＾＾

ベクトルは本試に引き続き、追試も平面ベクトルで、レベルも普通ですが、内容がベクトル方程式と珍しかったので、差がつきそうです。ベクトルは平面であれ空間であれ、長さや内積の計算は分数係数のために複雑になることは多いですが、文字設定などは全てセンター試験側でやってくれますので、流れに身を任せるだけで解けるものが多いです。

最初の内積はOK。次の式も、ただ展開したものだと気づけます。「エ」「オ」は、慣れていないと難しいでしょうか。「ベクトル式の平方完成」と私は呼んでいますが、その要領で変形をします。なお、ここができないとその後ほぼ全滅です。

センターでは、わざわざ全部書いて変形する必要はありません。前半はずっと一緒なので、ムダです。穴埋めの対象になっている部分だけ計算すればOK。

後半は、点から直線に下した垂線の足です。Hが「OC上にあること」で実数倍を設定し、垂直条件で「t」を出すという流れです。それも書いてありますので、向こうの書いた通りに計算するだけです＾＾

垂直条件は右辺がゼロなので、分母を払うのほうがやりやすいでしょう。（私は払ってません。従って、もっと素早くできそうですね）

センター時短テク内積は分母を払って計算する

MHの計算は少し係数がメンドウなので、慎重に。私、１回ミスして答えの形が合いませんでした＾＾；

なぜ中心から下した垂線を出しているのかというと、OCとPとの距離が最小になるときが欲しいからです。こちらの原則に基づいています。

Principle Piece II-44円周上の点との距離は、d±rで最大・最小

したがって、MHから半径を引くことで、最小距離を出せます。距離が高さの最小値なので、そこまでできれば面積は暗算ですね＾＾

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