November 15, 2015, 10:30 pm
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先日の、最大公約数と極限の解答です。
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(首都大学東京 都市教養 2012)
今回は、最大公約数と極限を絡めたものです。（２）で１、２、４のいずれかしか取れないことや、（３）で「６１０までの和」などもありますので、「あ、これは循環するんだろうな」と感じれるかどうかで、本問は勝負が決まりそうです。
（１）は調べるだけです。（２）は、ユークリッドの互除法を用いてることになります。ユークリッドの証明ほぼそのものですから、解のような解法が一般的ですね＾＾
（拙著シリーズ「数学A 整数」p.17）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
（３）では、（２）の途中で「４の約数」といってますから、４で割った余りで分類すればよさそうです。２、４のときはn+1が奇数なので、その時点で最大公約数は「１」と決定づけることができます。
（４）が極限。おまけとみせかけて、実は解答量が多め。きちんと４で割った余りで分けて、全ての場合を述べなければ正解にはなりません。
（拙著シリーズ「数学III 極限」pp.23-24）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
和については、きりのいい「４m」のときをまず求め、それから１項ずつ加えていくといいでしょう。
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
関連するPrinciple Piece
Principle Piece 数学III 極限
Principle Piece 数学A 整数
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November 16, 2015, 10:00 pm
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November 17, 2015, 10:00 pm
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November 18, 2015, 10:00 pm
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先日の、漸化式と極限の解答です。
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(三重大学 理系 後期 2012)
今回は、一般項不明の漸化式の極限の問題で、入試では超頻出タイプの問題です。これが初見、というの人は、類題を見つけて演習するようにしましょう！！
（１）はa_2の話のなので、ただの２次関数の問題に帰着できます。見慣れていないと、ここすら危ういかもしれませんが。。。
（２）では、a(n+1)がa(n)の２次関数となりますので、用いる式はほぼ（１）と同様となります。ｎに関する証明ですから、帰納法がいいでしょう。
（拙著シリーズ「数学B 数列」pp.50-57）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
（３）は不等式の証明なので、とりあえず差をとります。そこで難しいならまた帰納法ですが、（２）がありますから、簡単に言えてしまいます。（２）と（３）で、１つの問題でしょう。
メインは（４）。この手の問題では、まずαを推定する必要があります。その後、αと一般項の差がどんどん（等比的に）小さくなることを示す、という方針になります。
式変形の複雑さは漸化式によってばらつきがありますが、今回のタイプの問題は、ほぼこの方針で解けます＾＾原則としておさえておきましょう！
（拙著シリーズ「数学III 極限」pp.16-17）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
本問では、１／２ との差がどんどん小さくなっていくことを示していきます。等比数列「的」と表現しましたが、実際には等比数列ではありませんが、「絶対値が１未満の数字を掛け続けることで不等式をつくれる」というところが根本にあります。
１．さくっと解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、まずはこの問題を一通り、解答を見ずにやり直しましょう。それから、類題を探しましょう。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
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November 19, 2015, 10:00 pm
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November 20, 2015, 8:30 pm
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先日の、座標平面と極限の解答です。
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(東京理科大 理工 2012)
座標平面と極限では、グラフの交点や中心、円の半径などを、文字定数入りでもとめさせ、その極限を求めていくというタイプが多いです。従って、極限を求めるまでは文字を含んだ座標計算力も必要となってきます。
（１）は法線の方程式を求めるだけですから、大丈夫でしょう。（２）ではもとの接線とx軸との交点のx座標をもPRの長さにたすことに注意。
（３）がポイント。PR=PQという点を求めたことで、R,Qからそれぞれの線に垂線を引くと、交点Sが中心となります。△RPS≡△PQSにより、角の二等分線上になることで証明できます。ａ。tが両方入ってくるので、計算は慎重に行いましょう。
（４）が極限です。√が入っている式が多いので、こちらの原則に従いましょう。
（拙著シリーズ「数学III 極限」p.9）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
次数も高めで２文字も入っていますが、「ａ」に関しては残っても大丈夫ですので、混乱しないようにしましょう＾＾
１．さくっと解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、まずはこの問題を一通り、解答を見ずにやり直しましょう。それから、類題を探しましょう。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
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Principle Piece 数学III 極限
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November 22, 2015, 9:00 pm
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November 23, 2015, 10:00 pm
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先日の、共通接線の解答です。
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(徳島大 理系 2012)
今回は共通接線を取り上げました。共通接線は初見では解きにくいものなので、毎年「微分法」のときには取り上げています。
共通接線では、以下の原則を用います。
（拙著シリーズ「数学II 微分法」pp.16-17）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
なお、C1やC2が放物線の場合は、判別式＝０の利用も考えられますが、数学IIIでは放物線以外も多く出てきますから、こちらのやり方も頭に入れておきましょう。
具体的には、接点はそれぞれs、tの文字で設定して、接線の式を作ります。１次の係数、定数項の一致から、連立方程式ができます。「ａ」は残してもOKです。文字が多い時は、何を消して何を残すのか、常に意識しましょう。
（１）が出来れば（２）はただの２点間の距離公式です。式の形から相加・相乗が使えますね。
（拙著シリーズ「数学II 式と証明」p.19）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
「微分作業はお手のもの」ぐらいにしておかないと、理系数学では時間がなくなりますので、計算力UPはくれぐれも怠らないようにしてください。
１．さくっと解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、まずはこの問題を一通り、解答を見ずにやり直しましょう。それから、類題を探しましょう。
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Principle Piece 数学II 式と証明
Principle Piece 数学II 微分
Principle Piece 数学III 微分法
Principle Piece 数学III 微分法の応用
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November 25, 2015, 10:00 pm
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※数学IIIのPiece CHECKを紹介し終えたら、センター試験系に移る予定です。
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先日の、傾きの取りうる値の範囲の解答です。
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(前橋工科大 2012)
今回は、典型的な微分の作業をすべて含んだ問題としました。増減表、グラフ、最大・最小というセットですね＾＾
（１）はもちろん、微分して増減表を書きます、凹凸は調べなくていいので、実際はこのような曲線ではないかもしれませんが、極値と両端の値をしっかり押さえておけば、答案としては満点がもらえます。
（２）は「傾きの取りうる範囲」ということで、あまり馴染みがないですが、傾きの式を見たときに「平均値の定理だな」と思えば、こちらの勝ちです＾＾
（拙著シリーズ「数学III 微分法の応用」pp.11-12）
(新版、旧版で番号、ページ数が異なる場合があります。)
平均値の定理を用いれば、（２）では、ｆ’（ｘ）の増減を調べればよいことが分かります。すなわち、ｆ’’（x)を計算して増減表を書けばいいということですね＾＾
なお、ｆ’’（ｘ）＝０ となるｘの値は０、2π以外は分かりません。このようなことは三角関数の微分の問題では往々にしてあります。必要なのは極大や極小となる角度ではなく、その三角関数の値であるということを強く意識しておきましょう。
１．さくっと解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
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Principle Piece 数学III 微分法
Principle Piece 数学III 微分法の応用
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November 26, 2015, 9:30 pm
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November 26, 2015, 9:00 pm
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November 28, 2015, 8:00 pm
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先日の、三角形の面積の最大値の解答です。
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(青山学院大 誘導省略 2012)
三角形の面積の最大値の問題です。原題は誘導がありましたが、誘導なしでも全然問題ないレベルのはずです。
問題文にABの長さを求めるよう書いてあるので、AB=x とするのがいいでしょう。AC=1-x ですが、斜辺のACの方が長いことにも注意すると、０＜ｘ＜１／２ という範囲が出ます。
自分で文字を設定したときには、必ず定義域を意識しましょう。
定義域がきちんと出れば、あとは面積の式を微分して増減を調べるだけです。理系なのでそのままでも微分できますが、２乗すれば文系の人でも最大値を出せる３次式になります。
増減表をかくほど特徴的な点がないので、答案ではf’（x）の符号の変化だけを述べて「極大」かつ「最大」としました。
１．さくっと解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
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November 29, 2015, 10:00 pm
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December 1, 2015, 9:30 pm
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先日の、関数の最大・最小値の解答です。
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(和歌山県立医科大 2012)
前回に引き続き、微分法から最大・最小の問題にしましたが、こちらの方がみかけによらず重い問題でした。さすが、医科大といった感じで、計算量も含めて重量級です。
やることは微分して０になるものを見つけるなのですが、sin（・・・）＝０となる部分が問題。sinθ＝０となるθはたくさんありますが、（・・・）の部分の取りうる範囲をきちんと考えた上て、（・・・）＝０しかないと断定しなければいけません。ここで安易に「０だけ」とやると、大きく減点されるでしょう。
極値を取るxの値は全部で４つあることになりますが、次の関門が、f’（x）の符号です。（３x＋２）（x－２）の符号と、sin（・・・・）の符号を両方考えた上で調べる必要があります。
コツとしては一番調べやすいところを調べます。私は、一番最後の１＋√２１／２≦x≦３ のところです。（３x＋２）（x－２）は２を超えているので正、（・・・・）の部分も正（かつπ未満）なので、sinも正です。頭にマイナスがありますから、結局マイナスです。
また、f’（x）＝０に重解はありません。（３x＋２）（x－２）＝０の解と、（・・・・）＝０にもダブりはありませんから、極値をまたげば符号はかならず変わります。従って、そこからは交互になります＾＾
増減表は、結果があっていれば減点されません。ですので、符号を調べにくい増減表は、適当に値を入れてみましょう。
増減表を書いたあとは、極大・極小の大小関係です。cosは０＜x＜πであれば減少関数ですので、それを利用しました。
要所要所で思考力が必要となる問題でしたが、医学部ではこのような問題に対処できる力が必要となってきますね。
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December 2, 2015, 9:30 pm
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December 4, 2015, 9:00 pm
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12月です。2015年もあと30日足らずで過ぎ去ろうとしています。センター試験、２次と両方の対策をバランスよく行わければならない時期ですが、計画的に勉強をしていきましょう。
２０１５年１１月のアクセスランキングです＾＾
１位 東工大 数学 2015
２位 名古屋大学 理系 数学 2015
３位 東京大学 理系 数学 2015
４位 京都大学 理系 数学 2015
５位 大阪大学 数学 2015
11月は、今年の大学入試がずらりと並びました。王道ラインナップといった感じです。今年は名古屋大学が上位に来ることが多いです。東工大や東京大はいつも通り顔を出しました。
京都大学は最近、難易度に多少ブレがありますが、確率の漸化式の問題などはここ最近、良問続きですね＾＾
大阪大学は、あまり難易度はぶれませんが、公式の証明など当然のように使っていることを聞いてきますので、要注意です。
大学入試数学一覧は、すべての大学をご覧いただけるように、一覧としてトップにもリンクを貼っているので、まだご覧になっていない方は、ぜひ参考にしてみて下さい＾＾
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December 5, 2015, 8:30 pm
●センター試験過去問の解説です。解き終わってから見てくださいね＾＾
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センター試験が近づいてきましたので、本日からはセンター試験の過去問を題材に解説をしていきます。
※問題については、お手元の過去問集や、各種予備校のサイト、大学入試センターのHPなどから入手できますので、そちらをご覧下さい＾＾
おそらく、センター試験の過去問の解説やサイトの中で、最も「リアルな」解説になると思います。
【2015年 数学IA 本試 第１問 ２次関数】
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実際に紙面上でKATSUYAが解いたものは、こちらにあります＾＾
ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。センター試験で解くときは、上の紫の部分さえ書けばOKです。
まず、平方完成は問題の右にとっとと行いましょう。その後、平行移動してから最大値、最小値を求めることを示唆する文章があります。センター頻出の「軸分け」アンテナをはっておけば、すぐに気づくでしょう。
軸分けの問題は、年々聞き方が意地悪になっていますが、どう聞かれようが、答案に書く場合分けの図だけきちっと書いておけば絶対に解けます。「x＝２で最大値・・・」とかいう文章も不要です。書いた本人は、そんなことは分かっていますので（笑）
もとの原則は、こちらです＾＾ もちろんですが、これを自在に活用できることが前提です。
（拙著シリーズ「数学I ２次関数」p.25）
（新版、旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。）
（拙著シリーズ「数学I ２次関数」p.25）
（新版、旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。）
こたえは、最大値や最小値ではなく、場合分けのタイミングを聞いているということですね＾＾
後半は２次不等式の解になるようにするだけですから、そのまま因数分解の情報になります。f（x）は展開するとp^2が出てきてメンドウなので、こちらはそのままにし、ー(x＋２)(x-3)を平方完成する方がはやいと思います。
本コーナーでは、過去問の解説などからは見えない部分を解説していくことで、他にはない、独特の観点から解説をしていきます。
関連するPrinciple Piece
Principle Piece 数学I ２次関数
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December 6, 2015, 10:00 pm
●センター試験過去問の解説です。解き終わってから見てくださいね＾＾
いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾
センター試験が近づいてきましたので、本日からはセンター試験の過去問を題材に解説をしていきます。
※問題については、お手元の過去問集や、各種予備校のサイト、大学入試センターのHPなどから入手できますので、そちらをご覧下さい＾＾
おそらく、センター試験の過去問の解説やサイトの中で、最も「リアルな」解説になると思います。
【2015年 数学IA 本試 第２問 [1] 論理と集合】
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【2015年 数学IA 本試 第２問 [2] 三角比】
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実際に紙面上でKATSUYAが解いたものは、こちらにあります＾＾
ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。センター試験で解くときは、上の紫の部分さえ書けばOKです。
[1] 最初はいいでしょう。「または」を否定すると「かつ」、「かつ」を否定すると「または」となります。 その次ですが、そもそも３０までしかありませんから、全て書けば一目瞭然です。P２で２９を忘れないように注意。反例なので、前半にあって後半にないものです。
[2] 後半は三角比です。三角比の問題では、図がないことが多いので、まずは情報をもとに図を書きます。このとき、出来れば余白の端っこには欠かないほうがいいです。あとで延長したりと、図を追加するかもしれないからです。もう一度書き直す時間を節約します。
また、長さや角度はある程度正確に欲しいです。√２＝１．４・・、√３＝１．７３・・・ なども考慮して、あまり変な図を書かないように練習しましょう。角度は今回は分かっていますが、わかっていない時も、cosやsinの値から、ある程度の見当をつけてください。
本題です。最初は、計算せずとも「７」と分かります。「七五三の三角形」と覚えると楽です。知っていれば計算時間０秒ですね＾＾
次のsin１２０°はさておき、その次は、３辺が分かっていますから、余弦定理でどこでもcosが出せますので、相互関係を使えばsinも出せます。
今回は、１つ角度が分かっているので、正弦定理でもsinが出せます。こちらのほうが早そうですが、思いついた方でいいでしょう。
最後は、センター試験の三角比としては難易度高めです。以下のような発想の順番が自然かと思います。
（１）Pが動いても変わらないのがACであることから、Rの式が７／２sin∠APCで表せること
（２）PがD→Bと動くに連れて、∠APCが大きくなること（それが３０°～１２０°であること）
（３）∠sinAPCの取りうる値が１／２～１であること
試験会場では、「う、、、なんだこれ」となってしまう可能性があります。満点を狙っている人ほどしがみつく傾向にありますが、このようなときは飛ばすのが正解です。
本コーナーでは、過去問の解説などからは見えない部分を解説していくことで、他にはない、独特の観点から解説をしていきます。
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Principle Piece 数学I 三角比
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December 7, 2015, 10:00 pm
●センター試験過去問の解説です。解き終わってから見てくださいね＾＾
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センター試験が近づいてきましたので、本日からはセンター試験の過去問を題材に解説をしていきます。
※問題については、お手元の過去問集や、各種予備校のサイト、大学入試センターのHPなどから入手できますので、そちらをご覧下さい＾＾
おそらく、センター試験の過去問の解説やサイトの中で、最も「リアルな」解説になると思います。
【2015年 数学IA 本試 第３問 データ分析】
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ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。当たり前ですが、データ分析では、答案の日本語の部分は全て頭で考えるようにしましょう。
まず第３四分位数は、大きい方から10人目と11人目の間です。同じ階級にいますので、そこを選びます。
次の箱ひげ図のようなタイプが、今後も踏襲されるのかなぁ、と個人的には予想しています。データを正確に読み取り、誤っている部分をきちんと見つける能力です。
このような場合のテクニックです。
例えば、０～５までざっと見ると、最大値、最小値、および中央値はどれも階級が同じところにあります。これらで比べても、違いは分かりません。
選択肢によって階級が違うのは、Q1とQ3です。これらにだけ着目し、矛盾するものを選びましょう。
次の説明選択も、資料の読み取り能力です。小学校の社会の問題みたいですが、もう少し事情は複雑です。「確実に間違っていると言い切れるもの」だけを選び出せ、ということです。すなわち、「合っているか間違っているか判断できない」選択肢も、選んではいけないことになります。
「全員が」など、「all」のニュアンスを含むような選択肢のときには、特に慎重になりましょう。
最後の相関係数は、標準偏差も共分散も与えられていますから、もちろん答えられますね＾＾ 公式はしっかり確認しておいてください！
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December 8, 2015, 10:00 pm
●センター試験過去問の解説です。解き終わってから見てくださいね＾＾
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センター試験が近づいてきましたので、本日からはセンター試験の過去問を題材に解説をしていきます。
※問題については、お手元の過去問集や、各種予備校のサイト、大学入試センターのHPなどから入手できますので、そちらをご覧下さい＾＾
おそらく、センター試験の過去問の解説やサイトの中で、最も「リアルな」解説になると思います。
【2015年 数学IA 本試 第４問 場合の数と確率】
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さて、本題です。センター試験における場合の数や確率では、前半は「C」や「P」などの計算を使える可能性がありますが、後半になるにつれて、式一発で出せる可能性は低くなります。そのようなときは、全て書き出すという手もある、と思っておきましょう。
今回は、全事象が（たった）４８通りですので、最悪書き出せば解ける、ぐらいの気持ちが必要です。
（１）はいいでしょう。答案にも３・２・２・２・２だけで十分ですね＾＾
（２）は、「対称になる」ような場合を記号で表し、各記号に何色入るかで考えています。考えている本人が分かっていれば、日本語はほぼ必要ありません。
（３）は一瞬でしょう。交互に並ぶしかありません。
（４）５枚中３枚置くので、赤は固定されます。あとは青と緑の入れ方のみですね。
メインは（５）。赤が端っこだと、残りは（３）と同じ状況ですが、赤が端っこでないと、それが左右で起きるということです。それに気をつければ、できます。
（６）は、これまでに０枚、１枚、３枚を全て数え上げていることと、誘導がまったくないこと、最後の問題であることなどを踏まえると、余事象が思い浮かぶでしょう。
センター試験では、「最後の確率を余事象で出すために頑張る」流れをよく見かけますので、アンテナを貼っておきましょう。
本コーナーでは、過去問の解説などからは見えない部分を解説していくことで、他にはない、独特の観点から解説をしていきます。
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Principle Piece 数学A 確率
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