October 24, 2015, 10:30 pm
いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾
先日の、楕円外からの接線題の解答です。
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(信州大 教育 2012)
今回は、楕円外から引いた接線の問題です。円のときと同様に、曲線外から接線を引いた場合は、次の原則に従うことが多いです。
（Principle Piece 数学II 図形と式 p.41）
(新版、旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。)
ただし、（２）、（３）を見ると、今回は傾きの議論が中心であることがわかります。従って、今回は傾きを設定し、重解条件に持ち込む方針を取るのが正解でしょう。
（１）は、接線のうち片方がx軸に垂直となるときです。この値を出しておくことは、のちに意味があります。親切な小問です。
（２）以降は、重解条件に持ち込んでいきます。D=0がmについての2次方程式となりますが、これの解が問題文のm１、m２となるわけです。従って、和と積ですから、解と係数の関係で表すことになります。
（３）は、２直線のなす角が問題ですから、ベクトルの内積か、tanの加法定理の利用が原則です。傾きで議論しているので、tanの加法定理のほうがメジャーかと思います。
（Principle Piece 数学II 三角関数 p.34）
(新版、旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。)
「t」が最後までまとわりつきますから、計算は多少複雑ですが、２次曲線の単元ですから、覚悟が必要ですね。
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
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October 25, 2015, 10:30 pm
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さて、今回のPieceCHECK（２０１5年度の第８４弾）は、楕円と放物線です＾＾
※数学IIIの問題で、理系専用となります。文系の方は、こちらをご活用ください。
2012年、2013年のPiece CHECK一覧
Piece CHECK 2015-84
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思考時間は５分、解答はそこから２０分とします。全部で２５分弱ぐらいで解答できればOK。
ヒント：（１）と（２）は一気に出来そうです。（３）楕円絡みの面積の問題の方針は・・・
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October 27, 2015, 10:30 pm
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先日の、楕円と放物線の問題の解答です。
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(京都府立大 数値変更 2012)
今回は、楕円と放物線に関する問題です。円と放物線などの問題は難関大では見かけますが、演習量が他のタイプの問題に比べると少なく、差がでやすいようです。
（１）、（２）の共有点の個数は通常通り、解の個数に着目します。このとき、x^2/4 が０以上の値をとることに注意し、０以上の解の個数を数えることに帰着します。要は、ただの解の存在範囲の問題です。
（１）は「少なくとも１個、０以上の解を持つ条件」です。解と係数の関係から、定数項が０以下であればどちらかは０以上の解であること、また、定数項が正の場合、実数解条件に加えて、１次の係数が負でないといけません。
通常、「少なくとも１個」の場合は、「正と負が1個」「正が2個」「正の重解」と分ける必要がありますが、符号の性質をうまく利用し、少し答案をスッキリさせています。
（Principle Piece 数学I 2次関数）
(新版、旧版で記載ページ、番号が異なる可能性があります。)
（２）は、（１）のあとに存在していること考えると、その間のことは視覚的に判断してもよいということかと思われますので、ここは図で解答しています。
（３）は似ていますが、全然無関係の問題でただの面積です。楕円がらみで面積を見たら、拡大縮小で円にしたほうが、扇形として求められる部分が出てきます＾＾
（Principle Piece 数学III 式と曲線は現在執筆中です）
今回は割とラクな求積ですね。
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
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October 28, 2015, 10:30 pm
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さて、今回のPieceCHECK（２０１5年度の第８５弾）は、極方程式です＾＾
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2012年、2013年のPiece CHECK一覧
Piece CHECK 2015-85
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思考時間は５分、解答はそこから２０分とします。全部で２５分弱ぐらいで解答できればOK。ヒント：（１）は、（r、θ）と（x、y）の関係式を思い出しましょう。（２）、（３）は計算するだけです。>> 2012年,2013年のPiece CHECK はこちら
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October 29, 2015, 11:00 pm
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先日の、極方程式の問題の解答です。
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(鹿児島大 2012)
今回は、極方程式を扱いました。極方程式は教科書でもほとんど扱われないことに加え、入試問題でも相対的にかなり出題割合が低いですが、国立で出題されていることから、油断できません。
「数学C」から「数学III」への移行を「格上げ」とする見方もあり、「式と曲線」の単元自体の重要度が増しているとすると、極方程式は看過できない項目ですね。
極方程式でもっともよく出題される形としては、今回のような２次曲線の極方程式です。この形の極方程式は、焦点が極になっている場合が多いので、直交座標表現に直すと、楕円の中心のｘ座標はずれます。それを予想して式変形を行いましょう。
式変形はそんなに複雑ではありませんが、意外と詰まる子が多いようです。ルートを単独で残さないと、２乗したときにルートがまた残ってしまいますよね＾＾； それを防ぐことだけを考えていればOKなはずです。
２次曲線の（ｘ、ｙ）←→（ｒ、θ）の書き換えは、ちょろっとだけ複雑な式変形を必要とします。それを「知っておく」ことは大切です。
（拙著シリーズ「式と曲線」 は現在執筆中です）
（１）が出来れば（２）は、簡単です。（３）については、極方程式のままの方がラクな気もしますが、（２）でｘｙ座標に書き換えてあるので、それに従いましょう。性質の証明ですので、こちらの原則を用います。式と曲線の単元では頻繁ですね＾＾
（拙著シリーズ 「式と曲線」は現在執筆中です）
なお、（３）は以下のような証明も出来ます。大学の意図から間違いなく外れていますが＾＾；
【楕円Cをｙ軸方向に ２／√３ 倍に拡大すると円になる。このとき、AH、BHには変化がなく、PH、QHはともに２／√３ 倍になる。これらをP’H、Q'Hとする。
円については方べきの定理が成り立つから、P'H・Q'H／AH・BH＝１ である。元の式はこれを２／√３ の2乗倍すればよく、３／４で一定。】
円に関しては定理をいっぱい知っていることと、式の形から方べきっぽいと思ったことで導かれる解法です＾＾
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
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October 30, 2015, 9:00 pm
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November 1, 2015, 10:00 pm
いつもご覧頂きまして。、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾
いよいよ、１１月です。そろそろ入試が身近に感じられる時期となってきました。模試なども頻繁に行われるようになります。数をこなせばいいというわけではありません。
多く受けすぎて復習が追いつかない、普段の勉強が出来ないのであれば、本末転倒です。本来の目的を忘れないように注意しましょう。
２０１５年１０月のアクセスランキングです＾＾
１位 名古屋大学 理系 数学 2015
２位 東工大 数学 2015
３位 東京大学 理系 数学 2015
４位 絶対値付き2次関数
５位 東工大 数学 2014
今年の大学入試からは３つ。１位の名古屋大学は、今年はアクセスが多いです。今年は非常に点数が取りにくいセットでしたね。東大・東工大は２，３位を行ったり来たりで変わらずです。東工大は２０１４年も５位にランクインしました。
４位がニューフェイス。模試の季節、ということでしょうか。絶対値付き２次関数は慣れればどうってことはないですが、２次関数を習いたての高校１年生の段階では、差の出やすいタイプの問題ですね。
大学入試数学一覧は、すべての大学をご覧いただけるように、一覧としてトップにもリンクを貼っているので、まだご覧になっていない方は、ぜひ参考にしてみて下さい＾＾
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November 2, 2015, 8:30 pm
いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾
11月に入りました。たまに気温の大きく低い日があると、風邪をひきやすいです。十分気をつけましょう。また、今年は新型ノロウイルスが流行する可能性があるそうですので、手洗い、うがいは徹底ですね。
さて、今回のPieceCHECK（２０１5年度の第８６弾）は、方程式の解と複素数平面です＾＾ 今回から、複素数平面に入ります。
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2012年、2013年のPiece CHECK一覧
Piece CHECK 2015-86
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思考時間は５分、解答はそこから２０分とします。全部で２５分弱ぐらいで解答できればOK。
ヒント：条件から、すべての解が実数になることはないはずです。
関連するPrinciple Piece
Principle Piece 数学III 複素数平面
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November 3, 2015, 10:00 pm
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先日の、方程式の解と複素数平面の解答です。
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(京都大 理系後期 2003)
※複素数平面は新課程になったばっかりなので、2006年以前のものも紹介していきます。
今回は、方程式の解と複素数平面を絡めた問題です。形状は正三角形なので典型的ですが、問題文の表現が少し遠まわしなことと、実際の解を出すところが難しく、京大らしい難易度での出題です。
京大の問題であっても、原則は変わりません。
（拙著シリーズ「複素数平面」pp.49-51）
まず、実数係数の方程式の性質から、解の位置が、１辺が√３の正三角形になることを見抜きます。その後は、図形情報を利用し、解をβの１文字まで減らします。
そして最後に、解と係数の関係によってβを求めます。実数解が有理数でないものがあるので、少し難しいですが、ここは勉強量の差が出るところでしょう。８、１２、６という係数に対して、（２x－１）、（x－２）などの３乗のときに出てきた係数であることに気づければ、勝ちですね＾＾
このタイプの問題では、正三角形、直角二等辺三角形、正方形などが多いです。2015年は見かけませんでしたが、2006年以前は難関大を中心に出題されていたタイプです。いずれも上の原則で解決できますので、初見だった人はもう一度解き直しておきましょう。
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３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
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November 4, 2015, 9:30 pm
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November 5, 2015, 9:30 pm
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先日の、複素数平面と三角形の形状の解答です。
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(京都大 文系 2005)
※複素数平面は新課程になったばっかりなので、2006年以前のものも紹介していきます。
今回は、複素数平面と三角形の形状で、前回に引き続き京都大学の問題を採用しています。同大学は国公立の中でも、演習する価値のある複素数平面の問題（2006年以前）が多い印象があります。
本問では、三角形の形状を聞いていますが、式がシンプルすぎて意外と苦戦したかもしれません。
０、α、βの場合は、大概の問題であれば β／α を極形式にすることが原則です。
（拙著シリーズ「複素数平面」p.41）
しかし本問は、α／β の実部が１であること以外は分からず、極形式で表すことは容易ではありませんので、残念ながらこの原則を使って解くのは難しいです（ちなみに、図形的な意味を考えれば、これでもできます）。
三角形の形状を答える問題そのものに戻って考えます。「図形と式」という単元では、距離公式を習った後に、全ての辺の長さを出して、その長さの情報から形状を決めました。
そこで、「形状を求めるなら、とりあえず３辺の長さを出してみるか」という考えに行きつくのではないかと思います。
｜α｜、｜β｜はいいとして、｜α-β｜は計算すると、条件式が使えることがわかります。これによって、三平方の定理の逆が使えたということです。前回に引き続き、少しひねられた問題でしたね＾＾
なお、2005年の京都大では、理系でも違う条件式で三角形の形状を聞いていますが、理系のほうが素直かもしれません＾＾；
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
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November 6, 2015, 10:00 pm
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November 8, 2015, 12:30 am
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先日の、複素数式が整数となる条件の解答です。
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(名城大 理工 2015 (１)省略)
今回は、複素数の式と実数を結びつける問題です。整数という条件にしていますが、整数はもちろん実数です。これを利用できるかどうかが全てかと思われます。
（拙著シリーズ「複素数平面」pp.10-11）
これに従い、整数である前に実数になるためには、｜z｜＝１か、zが実数であるということがそもそも必要であることがわかります。z自体は虚数なので、｜z｜＝１ ということです。
絶対値が出たら極形式に設定しやすいので、z＋1/z を計算すると２cosθとなります。
共役複素数の極形式（的）表現は、cos(－θ)－ｉsin(－θ)=cosθ－ｉsinθ です。なれておきましょう。
cosθの取りうる範囲を考えると、整数としてはー２～２までしか取れませんから、あとは全調査をするだけですね＾＾
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
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November 8, 2015, 10:00 pm
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November 9, 2015, 10:00 pm
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先日の、偏角の最小値の解答です。
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(北海道東海大 1999 改題)
最後は、z→w の変換の問題です。原題はwの軌跡のみでしたが、それでは簡単すぎたので、偏角の最小値に変えてみました＾＾
軌跡を求めるだけであれば式変形だけで済むのですが、絶対値や偏角の最大・最小は図が大きな助けになります。特に偏角の場合は、こちらの原則が使えます。
（拙著シリーズ「複素数平面」pp.56-57）
wの軌跡の円に、原点から引いた接線がなす角を特定する必要があります。接線なので、中心、接点を結んで直角三角形を作るといいでしょう。加法定理を用いると比較的ラクに計算できるかなと思います。
（２）のzの座標は、tanθが複雑なため、計算が全体的に少し複雑でしたね。まずwを求めるところからですが、私は極形式で求めました。tanθが分かっているので、第４象限に注意して、siinθとcosθを求めます。２重根号はさくっと外せますか？
こうやって、突然出てきたときに対応できるようになって初めて、原則は習得したと言えます。
（「数学I 数と式」p.19）
あるいは、しょせん円と接線の接点ですので、図形と式のように、xy座標で、円（x－２）^2+(y+2)^2=1と接線を連立する方法もあります。接線の傾きは（１）のtanθそのものです。
（１）ができたら、（２）は出来て欲しいです。複素数平面だからといって、複素数平面で解く必要はありません。入試では、あらゆる手段で答えを出しにかかる、ぐらいの気合を持ちましょう。
wが出たら、あとはz＝・・・に直すだけですね。
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
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November 10, 2015, 10:00 pm
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先日の、正多角形と極限の解答です。
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(金沢大 理系 2012)
（１）は正多角形を扱うときの基本で、ピザ一切れだけをピックアップすれば簡単に出せます。
軌跡を求めるだけであれば式変形だけで済むのですが、絶対値や偏角の最大・最小は図が大きな助けになります。特に偏角の場合は、こちらの原則が使えます。
（拙著シリーズ「数学I 三角比」pp.30-31）
底辺の長さを出すときは中点に線を引くといいでしょう。余弦定理を用いても出せますが、その後で半角の公式を逆に使うという手法が必要です。
（２）は結果がわかっているので変形もしやすいと思いますが、どちらもsinの倍角の公式を使っています。
（３）からが極限のメインです。まずSnは、三角関数の極限の式変形の原則を用います。
（「数学I 数と式」p.19）
角度は簡単に変更できませんが、▲はいくらでも後ろで調整が聞きますので、●にあわせて無理やり変形していきましょう。
なお、結果がπになることは最初からほぼで、円の面積そのものということですね＾＾
後半のcosの積は、（２）の結果とSnの極限とあわせて求められます。
（４）も、（２）の後半と（３）の後半を使えば出ます。極限らしい極限は（２）の前半だけで、ただの見掛け倒しですね。
１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
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先日の、確率と極限の解答です。
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(大阪市立大 理系 2012)
今回は確率と極限を絡めたものです。（１）は確率だけで極限も関係ないので、メインは（２）→（３）ですが、（３）の極限は意外と苦戦したかもしれません。
原題では、「ｅの定義としての極限」が書かれていましたが、それでは丸分かりなので、ここでは省略しました。n乗という指数に、中にもnの式が入っていますから、この「ｅの定義としての極限」を用いることを考えます。
eの極限についても、三角関数の極限のように、ムリヤリ式を調整します。
（拙著シリーズ「数学III 微分法」pp.22-23）
微分法のところに記載されている教科書が多いですが、内容的には極限です。その関係もあって、eの極限は問題があまりないので、演習量が少なくならないように注意が必要です。
一気に極限を取ると式が汚くなるので、各項で極限を取り、すべて収束することを示してからqnの極限を求めるといいでしょう。
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