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Channel: 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集
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三角方程式　Piece CHECK 2013-16

April 25, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

4月にしては寒い日がありましたが、ようやく平年並みの陽気がもどりつつありそうです＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、Σ計算に関する問題です。


Piece CHECK　2013-16



思考時間は３分、解答はそこから７分です。１０分で解答したいところです。



































ヒント：sin　という種類がそろっています。あと、そろえなければいけないものはなんでしょう？





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★Principle Piece 数学Ⅱ 三角関数



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三角方程式(答)　Piece CHECK 2013-16

April 26, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾


先日の、三角方程式の問題の解答です。


(富山大 理工　2009)



三角関数に関しては、相互関係や加法定理に始まり、さまざまな公式がある分、変形が（悪い意味で）自由です。そのため、変形を誤ると、うまくいきません。

きちんと方針を理解して、適切な変形方法を選べるようにしておきましょう。


Principle Piece Ⅱ-65統一すべきは　「種類」=「角度」＞「次数」＞「係数」

(Principle Piece 数学Ⅱ 三角関数 pp.47~48）

最優先の種類をなるべく統一します。なので、cosθかsinθのどちらかだけにしたいところです。しかし・・・・




Principle Piece Ⅱ-67sin2θは２sinθcosθ　以外に変形がない

(Principle Piece 数学Ⅱ 三角関数 pp.50）


ことを考慮すると、sinθ×（cosθの3次式）　が最も有効だと考えられます。この２つの方針をもとにした変形です。



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（三角関数の方程式、不等式、最大・最小は網羅的にまとまっています＾＾）








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高次方程式の解　Piece CHECK 2013-17

April 26, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

東京はひさしぶりに週末の晴れです。連休も晴れるみたいですね＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、高次方程式の解に関する問題です。


Piece CHECK　2013-１７


お決まりの方程式なので、思考時間は１分、解答はそこから６分です。７分ぐらいで解答したいところです。



































ヒント：このような方程式は、相反方程式と呼ばれています。




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★Principle Piece 数学Ⅱ 複素数と方程式



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高次方程式の解(答)　Piece CHECK 2013-17

April 27, 2013, 10:30 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾


先日の、高次方程式の問題の解答です。


(産業医科大　2011)



係数が対称になっている方程式のことを、相反方程式といいます。

相反方程式では、真ん中の次数で割ることで、x+1/x　に関する方程式に書き換えることが可能です。まずはそれを解き、それからもう一度２次方程式を解いて、ｘを求めます。

因数分解をする際にも有用な方法ですので、知らなかった人は必ず頭に入れておきましょう。


今回は割と簡素なエントリーになってしまいましたが、基礎をきっちり押さえておくことも肝心です＾＾





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PR: 気づけば独身、そろそろ本気で婚活はじめるなら？

April 28, 2013, 10:00 pm
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定着させるには何が必要か。

April 28, 2013, 10:00 pm
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●　このブログとＰｒｉｎｃｉｐｌｅ Piece を通して、一気に定着

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。ＫＡＴＳＵＹＡです＾＾


ゴールデンウィークが始まりましたね＾＾　　そのGWが終わったら、すぐに中間試験、という高校も少なくないはずです。


直前になってあわてないように、GWを利用して復習しておきましょう！！忘れかけたころに思い出しておくと、記憶は定着度が一気に増します。

この４月に習った事項が含まれていたら、ぜひ復習してみてください＾＾





数学Ⅰ　２次関数

＞＞ （１） 関数とそのグラフ

＞＞ （２） 関数の移動と２次関数の決定 

＞＞ （３） ２次関数の最大、最小 

＞＞ （４） ２次不等式 

＞＞ （５） ２次方程式の解の存在範囲  



数学Ⅱ　式と証明

＞＞　（１） 分数式の計算、整式の割り算

＞＞　（２） 等式の証明


 
数学Ⅱ　複素数と方程式　
(※（１）がなくてすみません、間違えて自分で消してしまったみたいです＾＾；)

＞＞（２)　2次方程式の解の存在範囲 

＞＞（３） 因数定理

＞＞（４） 高次方程式



数学Ⅱ　図形と式　

＞＞（１） 点と座標

＞＞（２） 直線

＞＞（３） 円

＞＞（４） 円と直線ー(１)

＞＞（５） 円と直線ー(２)



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円と接線　Piece CHECK 2013-18

April 30, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

前半の連休と後半の連休の間ですが、今週は３日学校に行けばお休みですので、多少は気がラクなのではないでしょうか＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、図形と式からの問題です。


Piece CHECK　2013-１８


やることは単純なので、思考時間は３分、解答はそこから１２分です。１５分ぐらいで解答したいところです。



































ヒント：外部の点、接点、中心の4点の関係がポイントになります＾＾




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★Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式




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円と接線(答)　Piece CHECK 2013-18

May 1, 2013, 12:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾

連休の間は、あまり天気がよくないみたいですが、後半は天気が回復するようですね＾＾

先日の、円と接線に関する問題の解答です。


(山梨大　医　2011)



円の外部から円に引いた接線に関しては、平面幾何の知識を存分に活用できます。

円の中心、２つの接点、および外部の点の４点からなる四角形は、たこ型四角形と呼ばれるものです＾＾

今回は単純な三角比と倍角の公式で解決できますが、この４点からなるたこ型四角形については、センター試験ⅠAでもよく扱われます。ぜひ覚えておきましょう＾＾



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線分の和、差　Piece CHECK 2013-19

May 2, 2013, 12:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

さて、今週は今日学校に行けば４連休ですね＾＾　たった４日の休みですが、計画を立ててしっかりやり、達成感を味わった状態で週明けを迎えましょう＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、線分の和、差に関する問題です。


Piece CHECK　2013-１９


（１）はいいと思います。しかし、（２）は目新しいので、考える価値があります＾＾　思考時間は指定しませんので、考えてみてください。


































ヒント：（１）で使う手法は、どのような理由によるものでしょう？根本レベルで、（１）と（２）はまったく同じです。




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★Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式




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線分の和、差(答)　Piece CHECK 2013-19

May 2, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾

GW後半です。ちょっと寒めですが、天気はまずますといったところでしょうか。勉強ももちろんですが、体を動かすのもリフレッシュになります＾＾


先日の、線分の和と差に関する問題の解答です。


(創作)


（１）は頻出タイプで、対称点を利用するパターンですね。高校入試の作図などでも出るような問題です。


ULTIMATE Principle Piece 折れ線は伸ばす

ただし、断りになしに用いるべきではありませんので、どうして最小になるのか、きちんと証明できるようにしておきましょう。（１）の解答の4行目を見れば分かる通り、1行で証明できます。


（２）は見なれなかったかもしれませんが、原理的には（１）と殆ど同じです。結局、どちらもこの原理を使っています。


三角形において、「２辺の差＜他の１辺＜２辺の和」



（１）は右側の不等式、（２）は左側の不等式なだけですね。上のULTIMATE　Principle Piece　も、ここから来ているということをきちんと理解しておきましょう＾＾



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞









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２次関数の最大値 Piece CHECK-20

May 3, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

GW2日目以降は、東京は気温が戻り、絶好の行楽日和です＾＾　でも、混んでそうですね＾＾；　

さて、本日のPiece　CHECKは、２次関数の最大値関する問題です。受験生であれば手堅く押さえたい問題。２年生は定着問題です＾＾


Piece CHECK　2013-20


やることは決まっています。思考時間は３分、解答時間はそこから１２分です。１５分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：答えのａ は、条件を満たすかどうかの確認を忘れずに。




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★Principle Piece 数学Ⅰ　２次関数



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PR: 気づけば独身、そろそろ本気で婚活はじめるなら？

May 5, 2013, 12:00 am
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２次関数の最大値(答) Piece CHECK-20

May 5, 2013, 12:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、２次関数の最大値に関する問題の解答です。

(北海道工業大 2011)


定数入りの２次関数に関する標準的な問題です＾＾

定数入り2次関数に関しては、文句なしにこちらの原則ですね。

Principle Piece Ⅰ-26・頂点の議論は　「右端＜軸　左端＜軸＜右端　軸＜左端」
・両端の議論は　「定義域の中央と軸の大小」

(Principle Piece 数学Ⅰ ２次関数 p.27）


上に凸の放物線で最大値の議論をする場合は、頂点の議論になります。求めたaは、場合分けした範囲に適するかどうかを確かめることを忘れずに。







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内接四角形と三角比　Piece CHECK 2013-21

May 5, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

いよいよＧＷ最終日です。明日からまた普段の生活になると思いますので、リズムを戻していきましょう。　

さて、本日のＧＷ最終日のPiece　CHECKは、平面幾何に関する定理を証明します。


Piece CHECK　2013-21


有名な定理を、三角比で証明しようというものです＾＾思考時間は５分、解答時間はそこから１５分です。２０分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：（２）は、内接四角形だから成り立つ定理です。（１）に加えて、どんな条件を持ち出せばいいでしょう？



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ　三角比



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PR: 医療機関ホームページの虚偽・誇大な表現はＮＧです！

May 6, 2013, 6:15 pm
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内接四角形と三角比(答)　Piece CHECK 2013-21

May 6, 2013, 6:15 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、内接四角形に関する問題の解答です。

(熊本大 文系　2011)


有名なトレミーの定理を、三角比の余弦定理のみで証明しようというものです＾＾

まず、４辺、および対角線の情報から、内角の余弦を辺の長さの情報だけにします。

内接四角形で成り立つ性質は、対角の和が１８０°であることです。これを利用して、対角線ｘ、ｙを４辺a,b,c,dで表すわけですね＾＾

４辺の分かっている内接四角形の対角線は、４辺で表せます。以下の原則を知っていれば、その方針にたどり着けます。


Principle Piece Ⅰ-５０内接四角形絡みでは対角線とそのcosを連立させる

(Principle Piece 数学Ⅰ 三角比 pp.33~34）


x^2,y^2を因数分解するところは少し難しいですが、最終形が見えていれば、そうなるためには、「x^2,y^2がこういう形になるはず」というつもりで因数分解を予想していくといいでしょう。



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ 三角比




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試験前になってあわてないようにしましょう

May 8, 2013, 1:00 am
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いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾


GWが終わると、もうすぐ中間試験というところも多いのではないでしょうか。

高校２年生のみなさんは、数学Ⅱ、Bをやっていると思いますが、ⅠAのときよりも数学の授業時間数が増え、進度が速いところもあるかもしれません。

すると、数学の試験範囲が広くなります。直前であわてないようにしましょう＾＾


習ったところまでの復習はきちんと傍用問題集等で行っておかないと、ⅡBは付け焼刃な勉強では太刀打ちできないと思います。


Principle Pieceシリーズは、各分野をさらっと復習しながらレベルUPをするのに、最適です。この機会に、活用してみましょう！


■参考書シリーズ■

★　数学Ⅰ　数と方程式


★　数学Ⅰ　２次関数


★　数学Ⅰ　三角比


★　数学A　場合の数


★　数学A　確率 


★　数学Ⅱ　式と証明


★　数学Ⅱ　複素数と方程式


★　数学Ⅱ　図形と式


★　数学Ⅱ　三角関数 


★　数学Ⅱ　指数関数・対数関数


★　数学Ⅱ 微分 


★　数学Ⅱ　積分


★  数学B  数列


★　数学B　ベクトル

(販売先の教育、学習カテゴリーで10位以内多数)


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すべてのｘで・・・　Piece CHECK 2013-22

May 9, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

GWも過ぎたというのに、寒い夜がありますね＾＾；　体調を崩している人が周りにちらほらいたりします。その日の気温はきちんとチェックして、気温の変化に対応しましょう。　「5月で晴れ＝薄着」はまずいかもしれません。


さて、本日のPiece CHECKは、不等式に関する問題です。

Piece CHECK　2013-22



思考時間は８分、解答時間はそこから１７分です。２０分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：「●≦ｘ≦▲　を満たすすべてのｘについて・・・」これは何の問題に帰着させることが出来るでしょう？



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★Principle Piece 数学Ⅰ　２次関数



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すべてのｘで・・・(答)　Piece CHECK 2013-22

May 10, 2013, 1:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、「すべてのｘで・・・」に関する問題の解答です。

なお、問題文に不備があったので、もう一度ここでも掲載してきます。すみません＾＾；







答え


(高知工科大　2011)


（１）、（２）も同じようなことをやらされますね＾＾；

どちらの問題も、ポイントとなるのは、最初に引いた波線部分です。（みなさんが答案にかくときは、線を引く必要はありません）


Principle Piece Ⅰ-30●≦ｘ≦▲で　f(x)≦0 (≧0) → 最大・最小が絡む

(Principle Piece 数学Ⅰ ２次関数 p.35）


（２）は、おそらくｇ（ｘ）が因数分解出来るかどうかが分かれ目になるかと思われます。軸にも範囲にも a が入っているところが（１）よりもやや難しめですが、a と a+1 は大小がはっきりしているので、やりやすかったでしょう。

※なお、解答に波線部を書いていない問題集も見かけますが、私は書いておいた方がいいと思います。「ここから先、私は最小値を求めます」と採点者に伝わりやすいので。


（１）ぐらいであれば、センター試験でも十分扱われるレベルですので、出来なかった人は要復習です。




＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ ２次関数




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四角錐の内接球　Piece CHECK 2013-23

May 10, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

GWから1週間が過ぎて、ようやく夏の気温を感じることができるようになりましたね。　また、一気に暑くなりそうですね。


さて、本日のPiece CHECKは、不等式に関する問題です。

Piece CHECK　2013-23



思考時間は５分、解答時間はそこから１５分です。２０分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：立体の問題では、平面を切り取り、三角比を用いるといいでしょう。



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ　三角比



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