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Channel: 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集
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四角錐の内接球(答)　Piece CHECK 2013-23

May 11, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、四角錐の内接球に関する問題の解答です。


(千葉大　教育　2011)



空間図形においては、空間のまま考えるのは難しいので、２次元に帰着させていきます。対称性などを活かして、なるべく長さの求めやすい断面図を選ぶといいでしょう。

（２）の内接球の場合も同様ですが、内接球の場合は、この原則が適用できます。


Principle Piece Ⅰ-52球を含む立体では、球の中心を通る平面で切る

(Principle Piece 数学Ⅰ 三角比 p.37）


中心を通る平面で切ることで、内接球が内接「円」の問題になります。円の半径がそのまま球の半径になるので、ここで切るわけです＾＾

内接円となれば、以下の原則で簡単に半径が出ます＾＾


Principle Piece Ⅰ-49内接円絡み → 面積を媒介にする

(Principle Piece 数学Ⅰ 三角比 p.31）

OMNが正三角形であることに気づくと、時間短縮出来るかと思います。


球の体積、表面積の公式は盲点となりがちなので、忘れずに。



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ 三角比




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整数問題の参考書

May 12, 2013, 5:00 am
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●Principle　Piece　数A　「整数」　販売開始です！　
(新課程で正式に分野に入る、おたずね者の分野です)

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾


Principle Piece　シリーズ販売開始のお知らせです。


新課程のカリキュラムで1つの分野に格上げされる、数学Aの「整数」について、参考書が出来上がったので、販売を開始しました＾＾


Principle　Piece 数学A 整数


（新課程では数学A、現行課程でも入試では出ます）



＞＞　Principle　Piece　って何だ！？　という方は、こちらをどうぞ＾＾ 


高校数学Aの単元、「整数」に関する原則（Principle　Piece）を、例題を通して学んでいくための参考書です＾＾


整数問題は、入試問題では差が出る問題として、さまざまな形で好んで出題されます。新課程では数学Aとして教科書にも登場しますが、現行課程ではまとまって扱われることがありません。　

そのため、受験生が対策をとりたくでも取りづらい分野でもあります。

この参考書は、整数分野の基本から丁寧に説明するととともに、入試問題で扱われやすい分野を、原則とともに出来る限り体系的に編集したものです。また、新課程でしか扱われない合同式も入っています。


そして、なぜこの公式を使用するか、その原則の根本は何かをこれでもかというぐらい、言葉と図で説明しています。




Principle Pieceは、基礎の基礎を理解することにより、「なぜこのような解き方になるのか」に徹底的にこだわった参考書です。整数問題を解くのに必要なすべてが、ここにあります。　



この参考書を手元に置いておくだけで、他の参考書の学習効果も飛躍的にUPします。



この参考書を通して、「自分で」その解法を思いつき、適用できるようになり、数学の実力をUPさせてください＾＾

Principle　Piece 数学A 整数


（新課程では数学A、現行課程でも入試では出ます）



ぜひ販売サイトから、サンプルをご覧になってみてください^^ 

 



その他、現在販売中のPrinciple Piece数学
(数学ⅠⅡABの主要分野は全て揃いました＾＾)

★　数学Ⅰ　数と方程式

★　数学Ⅰ　２次関数


★　数学Ⅰ　三角比


★　数学A　場合の数


★　数学A　確率 


★　数学Ⅱ　式と証明


★　数学Ⅱ　複素数と方程式


★　数学Ⅱ　図形と式


★　数学Ⅱ　三角関数 


★　数学Ⅱ　指数関数・対数関数


★　数学Ⅱ 微分 


★　数学Ⅱ　積分


★  数学B  数列


★　数学B　ベクトル
(販売先の教育、学習カテゴリーで上位独占中)


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内積の等式　Piece CHECK 2013-24

May 13, 2013, 4:32 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

GWから1週間が過ぎて、ようやく夏の気温を感じることができるようになりましたね。　また、一気に暑くなりそうですね。


さて、本日のPiece CHECKは、不等式に関する問題です。

Piece CHECK　2013-24



思考時間は５分、解答時間はそこから１５分です。２０分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：三角形の形状を答えます。そのとき、等式の情報は何の情報に直すべきでしょう？



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ　三角比

2012年度のPiece CHECK が見たい人はこちら


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内積の等式(答)　Piece CHECK 2013-24

May 15, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、内積と三角形の形状に関する問題の解答です。


(千葉大　教育　2011)



三角形ですから、平面ベクトルの問題といえます。別に三角形自体は空間に浮かんでいてもかまいませんが、３点を含む平面は必ず１つに決まりますから、三角形の問題は平面ベクトルで考えます。

ベクトルの基本はまずはこれです＾＾


Principle Piece B-24AB＝●B－●A　で基点を合わせる

(Principle Piece 数学B ベクトル p.9）


これが基本です。起点がばらばらになっているものは、まずこれで書きなおします。

今回はベクトルが３種類ありますので、（符号の違いは考慮しません）
この原則に従いましょう＾＾

Principle Piece B-43平面でベクトルが3つ　→　３頂点のいずれかを基点に

(Principle Piece 数学B ベクトル pp.41～42）

解答では、基点をAに合わせて解答しています＾＾　ほとんど計算は不要ですね＾＾

別解は、以下の原則に基づいています。


Principle Piece Ⅰ-46三角形の形状問題　→　長さの情報へ

(Principle Piece 数学Ⅰ 三角比 p.9）

本来は三角比、三角関数の問題で使う原則ですが、内積はそもそも余弦定理ですから、この方法でも解けるという発想に至ってほしいところです＾＾

こちらの原則も併せて頭に入れておくと、より確信を持てます。

Principle Piece B-37３辺の長さで内積を表す　→　余弦定理そのもの

(Principle Piece 数学B ベクトル p.36～38）



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ　三角比

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2項定理の展開　Piece CHECK 2013-25

May 16, 2013, 1:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾



中間試験1週間前の人たちも多いと思います。学年が変わって最初の試験は、新しい科目の定期試験の傾向を知るのに大切です。最初は傾向が読めないので、先輩などから去年の問題などを借りるというのも、いいですね＾＾


さて、本日のPiece CHECKは、二項定理に関する問題です。高校２年生は中間試験の範囲ですかね＾＾　
（中間試験にはおそらく出ないですが＾＾；）


Piece CHECK　2013-25


思考時間は４分、解答時間はそこから８分です。１２分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：文字計算力が必要なのは、慶応の特徴。とりあえず一般項を出しましょう。



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学A　場合の数


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2項定理の展開(答)　Piece CHECK 2013-25

May 17, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、二項定理に関する問題の解答です。


(慶応大　薬　2012)



二項定理に関しては、文字定数 ａ が含まれていたとしても、こちらのやり方を守れば解くことができます。


Principle Piece Ａ-23二項定理の一般項は　(係数)× (xの●乗)　の形にする

(Principle Piece 数学Ａ 集合と場合の数）


これを計算することにより、a のマイナス2乗の値が出ます。ここからaくを求めたくなりますが、欲しいのは x のマイナス6乗の係数ですから、実は a のマイナス2乗の値そのまま使うことができます。

答えの数値自体は、受験生に対する配慮のまったくない形ですね＾＾；慶応薬学部の特徴です。逆に作成する側はラクでしょう。



逆に答えの数値がきれいな問題は、作成側が頑張って調整していますので、苦労を感じますね。




＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学A　場合の数


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長さと面積の最大値　Piece CHECK 2013-26

May 17, 2013, 9:30 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾


さて、本日のPiece CHECKは、図形総合に関する問題です。


Piece CHECK　2013-26


思考時間は７分、解答時間はそこから２３分です。全部で３０分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：まず、Pの軌跡は分からない人は平面幾何を復習！そのうえで、どのようなときに最大になるか、図形的に考えましょう。数式処理だけに走ってはいけません。



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ　図形と式


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高校数学はじめての中間試験の勉強法

May 18, 2013, 5:00 am
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いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

高校生になって初めての中間試験の高校１年生用に、「数学Ⅰ」の基礎事項の目次を一覧にしました。


もし分からない事項がある場合には、ぜひ参考にしてみてください＾＾　因数分解とか、有理化とか、絶対値などは、絶対に出ますよ～＾＾




■数学Ⅰ■　


第１章　方程式と不等式

＞＞ （１） 展開と因数分解
＞＞ （２）複雑な因数分解
＞＞ （３）絶対値
＞＞ （４）無理数と根号
＞＞ （５）2次方程式





第２章　２次関数

＞＞ （１） 関数とそのグラフ
＞＞ （２） 関数の移動、２次関数の決定
＞＞ （３） ２次関数の最大、最小
＞＞ （４） ２次不等式
＞＞ （５） 解の存在範囲
＞＞ （６)　絶対値と２次関数 






第３章　三角比

＞＞ （１）三角比の定義と値
＞＞ （２）三角比の相互関係
＞＞ （３）三角方程式
＞＞ （４）三角形
＞＞ （５）図形の計量


関連するPrinciple　Piece

★Principle Piece数学Ⅰ　数と式

★Principle Piece数学Ⅰ　２次関数

★Principle Piece数学Ⅰ　２次関数












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長さと面積の最大値(答)　Piece CHECK 2013-26

May 18, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、長さと面積に関する問題の解答です。

(東京理科大　工　2010)




図形と式に関する問題ですが、ある程度図形的な考察をすることで、いつ最大になるかはすぐにわかります。

（１）の面積は、高ささえ最大にすればOKですね＾＾

（２）については、中心との距離±半径が最大、最小になります。これが一番簡単ですね。

そのときの座標は、解答のように単位ベクトルを持ち出して攻めるといいでしょう。

（３）は、接するときがもっとも角度が最大になります。接点の座標は複雑な形になりましたが、接線が（－４，０）を通る　という考え方のほうが、いいと思います。先に接線を置きましょう＾＾


Principle Piece Ⅱ-37「通る」よりも「接する」に着目する

(Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式　pp.26～28）






＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ　図形と式


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May 20, 2013, 12:30 am
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整数解を求める　Piece CHECK 2013-27

May 20, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾


日曜日は東京は雨が降るといいながら、結局ほぼ一日降りませんでしたね＾＾；　代わりに、今日降っています。

本日のPiece CHECKは、整数問題です。


Piece CHECK　2013-27


割と難しいと思います。思考時間は７分、解答時間はそこから１８分です。全部で２５分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：整数解を求めるための、大前提となる基本は？



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★Principle Piece 数学A　整数


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整数解を求める(答)　Piece CHECK 2013-27

May 21, 2013, 12:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、整数解を求める問題の解答です。


(一橋大　2013)




難しめの整数問題です。まずは、式の形から、(p+q)で括れることに気づく必要があります。


Principle Piece A-63積の形に導き、約数候補

(Principle Piece 数学A 整数　pp.26～28）


2013を素因数分解し、左辺の式も因数分解できないか、と考えることは、整数解を求める上での大前提です。


また、対称式ですから、ｐ＋ｑ＝ｓ、ｐｑ＝ｔ　とおくとすっきりします。

３×１１×６１　から、(ｓ、3s^2-10t)　の組み合わせを探していきますが、ここで原則です。


ULTIMATE Principle Piece-17整数問題はある程度絞り、すべて調査

(Principle Piece 数学A 整数　pp.26～28）


ここまで出来れば、実は組み合わせは８通りしかありません。すでにある程度絞れていますので、ここから全て調査してもかまわないわけです。

ここまで来ているのに、「計算が・・・」などと試験場で考えたら、負けだと思ってください。このぐらいの計算はやってください。３ケタ×３ケタぐらい、３０秒もあれば出来るはずです。


さらにしぼる方法が思いついた場合は、絞っていきましょう。私は、１の位に着目して、ｓには３の要素が含まれないことを示し、３通りまでしぼりました。

和と積を置いた場合は、実数条件に注意してください。


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★Principle Piece 数学A　整数


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法線の本数　Piece CHECK 2013-28

May 22, 2013, 12:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾


本日のPiece CHECKは、法線の本数に関する問題です。


Piece CHECK　2013-28


標準的な入試問題レベルです。思考時間は７分、解答時間はそこから１８分です。全部で２５分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：法線の本数は、何によって決定されますか？



＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ　積分


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法線の本数(答)　Piece CHECK 2013-28

May 23, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、法線の本数に関する問題の解答です。

(早稲田大　理工　2011(一部省略))


（１）で法線を求めることは出来ると思いますが、ｙ軸に垂直になる場合は、別に求める必要があります。早稲田の理工ですから、ひと癖ありますね。

その影響が（２）にも出ます。（２）では、１本がｙ軸に垂直になる場合を考えられているかどうかがポイントです。結果的にはあり得ませんが、答案にはきちんとまとめておく必要があります。


法線の本数に関しては、以下の原則に従います。

Principle Piece Ⅱ-104接線の本数は接点を置いて解の個数へ

(Principle Piece 数学Ⅱ　微分(２冊目) pp.8～10）

法線でももちろん変わりませんね。


Principle Piece Ⅱ-1013次式の解の個数は、判別式Dと極値の積の符号で決まる

(Principle Piece 数学Ⅱ 微分(２冊目)　pp.2）


解を２個もつときは、極大、極小が存在し、かつ積が０になる場合となります。

なお、今回は定数　ｔ　が１次以下にしか入っていないので、以下のやりかたでも出来ます。


Principle Piece Ⅱ-103接線の本数は接点を置いて解の個数へ

(Principle Piece 数学Ⅱ　微分(２冊目) pp.4～5）


解答の詳細は記載しませんが、定数分離してグラフで視覚的に考察します。解の個数が２個なので、接するときですね。





３次方程式の解の個数に関しては、難関大でも扱われる項目なので、重点的に演習しておきましょう。




＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ　微分


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三角関数の条件式と値　Piece CHECK 2013-29

May 24, 2013, 12:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

いよいよ気温が安定して高くなってきましたね＾＾　快適に過ごせる陽気です。すぐに梅雨、夏となり、また快適とは言い難くなりそうですが＾＾；


さて、本日のPiece CHECKは、三角関数からです。


Piece CHECK　2013-29


思考時間は６分、解答時間はそこから１４分です。全部で２０分で書きあげられれば、実力抜群です＾＾



































ヒント：条件式は両方とも、sinｘ、sinyの対称式です＾＾



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★Principle Piece 数学Ⅱ　三角関数




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三角関数の条件式と値(答)　Piece CHECK 2013-29

May 24, 2013, 9:30 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、三角関数の式の値に関する問題の解答です。

(大阪大　理工　2011(後期))


計算力とあきらめない意思さえあれば解けるような問題でしたね。大阪大の問題とはいえ、使っている手法はごくごく基本的なものばかりです。

まず、条件式はどちらも対称式ですから、まずはこの原則に従いましょう。


Principle Piece Ⅰ-122文字の対称式は和を積を

(Principle Piece 数学Ⅰ 数と式 p.26）

これにより、和を積を出します。対称式の式変形は問題ありませんよね。

和と積を出せば、２次方程式を簡単に作成できます＾＾


Principle Piece Ⅱ-142次方程式の作成は和と積から

(Principle Piece 数学Ⅱ 複素数と方程式 pp.16～17）

２次方程式の解はちょこっと複雑ですね＾＾；

最後です。角度の和を聞かれていますから、加法定理でsin(ｘ＋ｙ)かcos(ｘ＋ｙ)を求めます。そのために、cosx、cosｙ　が必要ですが、2重根号が登場です。

こちらも原則ですね。

Principle Piece Ⅰ-8２重根号はその前に２を出してはずす

(Principle Piece 数学Ⅰ　数と式 pp.17～18）


最後の計算ですが、cos（ｘ＋ｙ）のほうが計算はラクですね。角度は－π1/3　も考えられますが、sinが両方正であることから、１つに絞れます。

細かい部分で点数をひかれないように、普段から「これで本当に１つに決まるの？」と考えるようにしましょう。



大阪大学でも、この程度の原則しか使いません。適切な時に、適切な原則を用いれば簡単に正解にたどり着けますね。大学名でびびらないように！


＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ　三角関数

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三角方程式の解の個数　Piece CHECK 2013-30

May 25, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾



さて、本日のPiece CHECKは、前回に引き続き三角関数からです。


Piece CHECK　2013-30


思考時間は７分、解答時間はそこから１８分です。全部で２５分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：三角方程式の解の個数ですね。角度の解の数であることに注意。




＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ　三角関数





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三角方程式の解の個数(答)　Piece CHECK 2013-30

May 27, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、三角方程式の解の個数に関する問題の解答です。

(札幌医科大　2011)


最初の式変形はいいですよね＾＾

Principle Piece Ⅱ-65統一するのは角度と種類が最優先

(Principle Piece 数学Ⅱ 三角関数 p.46）

coｓｘに合わせるのがいいですね。



三角関数の解の個数は、そもそも三角関数の値に対して、それを満たす角度が何個存在するか、を考慮する必要があります。

さらに文字が２文字あることが、この問題を難しくしています。

２文字ある場合は定数分離してグラフを合成するのは難しいので（三角関数の原則７２を参照）、すなおに２次関数の解の存在範囲に帰着させるべきです。

場合分け　i）　の重解の問題は、解と係数の関係で解を特定しましょう。　iii）　の場合は、またぐ条件を活用すればOK。異符号＝積が負というのは、非常に便利な式ですね＾＾

Principle Piece Ⅰ-31解の存在範囲は、またぐなら１条件

(Principle Piece 数学Ⅰ ２次関数 pp.39～41）





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余りを求める問題　Piece CHECK 2013-31

May 28, 2013, 1:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾



さて、本日のPiece CHECKは、整数問題からの出題です。


Piece CHECK　2013-31


思考時間は３分、解答時間はそこから７分です。全部で１０分で書きあげましょう＾＾



































ヒント：９００＝３０×３０　です。




＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学A　整数





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余りを求める問題(答)　Piece CHECK 2013-31

May 29, 2013, 1:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾

本日より、東京は梅雨入りに突入するとのことです。

先日の、余りを求める問題の解答です。





今回は解答が短かったですね＾＾；

割る数が●^2　のような形をしている場合は、２項定理で展開式を考えるといいでしょう。


Principle Piece A-59●^2で割る場合は、２項定理を利用する

(Principle Piece 数学A 整数 p.34）

何乗かして、余りが１になるようなものが見つかれば周期性が発見できますが、割る数が大きい場合は、かなりしんどいと思いますので、こちらの方法も頭に入れておくようにしましょう。






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