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Channel: 東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集
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知っておきたい積分　Piece CHECK 2013-10

April 10, 2013, 3:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

そろそろ、新学年になって授業が本格的に始まりだすと思います。科目構成なども大きく変わると思いますので、いかに早く勉強のリズムを作るかが大切です＾＾

さて、本日のPiece　CHECKは、理系の問題で、かつ積分です。積分まで終了していないと解けませんので、既卒生向けになります。

Piece CHECK　2013-10


今回は割と難しい問題になります。目にしたこともあるかもしれません。初見の人は思考時間１５分、解答はそこから３５分です。計算量は割と多いので、５０分で正解できればOKでしょう。



































ヒント：最近、この手の積分が聞かれることが多いです。しっておいて損はありません。





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学ⅢC(原則のみ)



2012年度のPiece CHECK が見たい人はこちら



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知っておきたい積分(答)　Piece CHECK 2013-10

April 11, 2013, 3:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾




先日の、知っておきたい積分に関する問題の解答です。

(東工大 2011(後期))


図はいたって単純な問題なのですが、面積の計算はかなりメンドクサイですね。

√(x^2+1)　に関する積分（双曲線絡みの面積計算）は、普通は誘導なしでは出ることはありませんが、本問は、双曲線を媒介変数表示させてあります。これを使うと出来るわけです。

東工大なので、「これで分かるでしょ」ぐらいの意図でしょう。しかし、1/cos^3　の積分も、経験がないとかなり厳しく、手が止まってしまうでしょう。


Principle Piece Ⅲ-48∫(sinの式)cosθ dθ、∫(cosの式)sinθ dθ　は置換積分

(Principle Piece 数学ⅢC(原則のみ)）


そして、この形が見えにくい、かつ頻出な形が、以下の積分です。

Principle Piece Ⅲ-49∫(sinの奇数乗)dx、∫(cosの奇数乗)dx　の積分はⅢ-48　を使う

(Principle Piece 数学ⅢC(原則のみ)）

sinの奇数乗は、sinの偶数乗×sin　と見れます。偶数乗であれば、相互関係によって　1-cos^2　に変形できますから、Ⅲ-48が使えるわけですね。

本問は、cosの－3乗です。負の数になっても、使えます。そこから先も計算は長いですが、原則が適用できたのであれば、ここは踏ん張りどころですね。

最後の極限は、おまけです。　
log(√(t^2+1)+t)　は、ｔが大きいとだいたい　log２ｔ=log ｔ+log２　　
という感覚が、答案の根拠になっています。


極限では、「だいたい」という感覚は大事です＾＾




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April 12, 2013, 12:30 am
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絶対値付き2次関数　Piece CHECK 2013-11

April 12, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、数学Ⅰからの問題です。高校２年生になったばかりの人でも、解くことができます＾＾

Piece CHECK　2013-11


思考時間は８分、解答はそこから１７分です。２５分で解答出来ればOKです＾＾



































ヒント：絶対値付きの2次関数に、定数aが入っています。





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ　2次関数



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絶対値付き2次関数(答)　Piece CHECK 2013-11

April 12, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾




先日の、絶対値付き２次関数に関する問題の解答です。

(富山大 理・工　2011)


絶対値付き２次関数の、少し応用的な問題でした＾＾

（１）については、絶対値の中身で場合分けし、それぞれのグラフを合わせてもいいのですが、グラフ全体に絶対値が付いているなら、この原則が適用できます＾＾

Principle Piece Ⅰ-32グラフ全体に絶対値　→　x軸より下をひっくり返す

(Principle Piece 数学Ⅰ2次関数 pp.42~43）


（２）はについては、せっかくグラフを書いたのですから、活用しましょう。そのためには、外側の絶対値を外します。これならすぐに出来ますので。

そこで、あとは以下の原則を用いればOKですね＾＾

Principle Piece Ⅰ-33文字定数入りの方程式の解の個数は視覚化

(Principle Piece 数学Ⅰ 2次関数　p.45）

その後は少し複雑になっていますが、y=a+2　と、y=a-2　は2つ同時に動くものの、幅が４で一定であることに気づくと、アプローチがしやすくなります＾＾


なお、（１）のグラフは答案として書くグラフなので、（２）を考えるときには、はもう一度グラフを書くようにしましょう。（１）の答案にそのまま書きこんでしまうのでは、あまりよくありません。


＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅰ　2次関数



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【販売開始】複素数平面　数学Ⅲ　Principle Piece

April 13, 2013, 10:00 pm
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●Principle　Piece　数Ⅲ　「複素数平面」　販売開始です！　
(新課程のカリキュラムに入っている分野です)

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾


Principle Piece　シリーズ販売開始のお知らせです。


数学Ⅲの「複素数平面」について、Principle　Piece　シリーズが出来上がったので、販売を開始しました＾＾


Principle　Piece 数学Ⅲ 複素数平面


（新課程カリキュラム用です。ご注意ください。）



＞＞　Principle　Piece　って何だ！？　という方は、こちらをどうぞ＾＾ 


高校数学Ⅲの単元、「複素数平面」に関する原則（Principle　Piece）を、例題を通して学んでいくための参考書です＾＾


新課程カリキュラムの人たちの多くから、

「複素数平面の問題集が新課程のため、書店で売られていない。販売してほしい」

私もかなり大きな書店に確認しに行きましたが、まだ売られていないですね＾＾；　そこでこの分野を開始し、本日販売を開始しました。



本シリーズでは、複素数平面の基本的な性質を深く掘り下げるとともに、入試問題で頻出のド・モアブルの定理や三角関数との関わり、軌跡に関する問題を全網羅しています。

そして、原則とともに、なぜこの公式を使用するかをこれでもかというぐらい、言葉と図で説明しています。




Principle Pieceは、基礎の基礎を理解することにより、「なぜこのような解き方になるのか」に徹底的にこだわった参考書です。複素数平面の問題を解くのに必要なすべてが、ここにあります。　



この参考書を手元に置いておくだけで、他の参考書の学習効果も飛躍的にUPします。



この参考書を通して、「自分で」その解法を思いつき、適用できるようになり、数学の実力をUPさせてください＾＾

Principle　Piece 数学Ⅲ 複素数平面


（新課程カリキュラム用です。ご注意ください。）




ぜひ販売サイトから、サンプルをご覧になってみてください^^ 

 



その他、現在販売中のPrinciple Piece数学
(数学ⅠⅡABの主要分野は全て揃いました＾＾)

★　数学Ⅰ　数と方程式

★　数学Ⅰ　２次関数


★　数学Ⅰ　三角比


★　数学A　場合の数


★　数学A　確率 


★　数学Ⅱ　式と証明


★　数学Ⅱ　複素数と方程式


★　数学Ⅱ　図形と式


★　数学Ⅱ　三角関数 


★　数学Ⅱ　指数関数・対数関数


★　数学Ⅱ 微分 


★　数学Ⅱ　積分


★  数学B  数列
(販売先の教育、学習カテゴリーで10位以内多数)


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PR: 「ＰＭ２．５」大気汚染と健康への影響-政府ネットＴＶ

April 15, 2013, 12:30 am
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ＰＭ２．５とは何かや、ＰＭ２．５の健康への影響について専門家の解説をご紹介します
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台形と平面ベクトル　Piece CHECK 2013-12

April 15, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、ベクトルからの問題です＾＾


Piece CHECK　2013-12


思考時間は６分、解答はそこから１４分です。２０分で解答出来ればOKです＾＾



































ヒント：ベクトル表示ですが、図形的にアプローチできます。





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ ３角関数


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台形と平面ベクトル(答)　Piece CHECK 2013-12

April 16, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾




先日の、台形と平面ベクトルに関する問題の解答です。

(福島県立医大 2012)


平面ベクトルといいつつも、ベクトルはあまり出てきませんでしたね。

（１）ですが、等脚台形は円に内接します。円に内接四角形の場合は、この原則が使えますよね＾＾


Principle Piece Ⅰ-50内接四角形絡みでは、対角線とその対角のcos　を連立させる

(Principle Piece 数学Ⅰ三角比 pp.33~34）


見たの題材はそこまで見かけるものではないですが、きちんと原則に従いましょう＾＾

BCベクトルはもちろん、起点合わせ(差のベクトル)で基本ベクトルに直しましょう

Principle Piece B-24AB→=●B-●A　は基点合わせの公式

(Principle Piece 数学B ベクトル p.9）



（２）ですが、二等辺三角形なので、長さの場所を変えて議論しています。このほうが、BH’を出しやすいからですね＾＾


今回は医大ですから、このようにちょっとした発想が解法を一気に簡単にすることも多いです。医大は特徴的なので、今のうちから過去問を徹底的に研究してください。







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条件下における最大値　Piece CHECK 2013-13

April 17, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、条件下での式の値の最大値に関する問題です＾＾


Piece CHECK　2013-13


思考時間は６分、解答はそこから１４分です。２０分で解答出来ればOKです＾＾



































ヒント：条件が不等式のときは、どのようなアプローチが原則でしょう？





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式



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条件下における最大値(答)　Piece CHECK 2013-13

April 18, 2013, 1:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、条件下における最大値に関する問題の解答です。

(津田塾大 2011)


領域の問題に帰着できるタイプでした＾＾

条件式が等式ではなく、不等式の場合は、領域に帰着させます。これは原則です。

Principle Piece Ⅱ-53不等式条件は領域図示→領域との共有店条件

(Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式 pp.57~59）

円と放物線になります。放物線と円の下側のグラフは微妙なところですが、放物線のほうがわずかに上側です。不安な場合、計算してください。

領域が図示できたときの最大、最小は、それをｋと置きます。ｋがグラフ上で何を表すかを考えましょう！


Principle Piece Ⅱ-54領域内の最大、最小
[1] 直線で囲まれている場合は、交点か端っこ
[2] 曲線が含まれるなら、接するときに注意

(Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式 pp.59~60）


今回は領域が直線なので、接するときを考えます。その接点が、領域内の点になりますから、接するときが最大なわけですね＾＾


今回のように、分数の形で書かれていることもありますが、これもただの直線です。「＝ｋ」とおく　という方針を変えなければ、解決できますね＾＾






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公式は覚えなければいけない？

April 19, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KAYTSUYAです＾＾
今回は、数学の公式についてです。











数学に限らず理系科目では、覚えなければいけない公式が多いですね。では、なぜ覚えなければならないのでしょう？　１つ例にとって見てみます。

















三角形の面積に関する、ヘロンの公式、いえますか？






東大数学で9割獲得したKATSUYAが伝える数学の解き方と勉強法












ですね＾＾　　　これは言える人が多いと思います。

















では、証明できますか？










こうなると、途端に手が挙がる人が少なくなるのではないでしょうか。













証明


東大数学で9割獲得したKATSUYAが伝える数学の解き方と勉強法













こんな感じになります。長いですよね？










毎回、こんな計算して面積求めてたら、時間がいくらあっても足りません。だから、過程を無視して、いきなり答えを書いていいんです。それが公式になっている理由です。













ですから、実は最初の質問は、愚問であることが分かります。










公式は「覚えなければならないもの」ではなく、「覚えておくと自分のためにベンリなもの」に過ぎないんです。















すんごく冷たい言い方をすれば、覚えるか覚えないかはあなたの自由です。勝手にすればいいんです。むしろ間違えて覚えてしまいそうなら、変に覚えようとしない方がマシです。















大事なことは、思い出せないときに、導けるかどうかです。
















ちなみに、私はヘロンの公式はきちんと覚えていません。「１／２って前につくんやったっけ？」といつも迷ってしまいます。私にとってのヘロンの公式は、間違えて覚えそうなものなので、使わないんです。でも、導いている過程で、１／２がつかないこともすぐ思い出せます。
















そのほかにも、うろ覚えの公式はたくさんあります。（数学の先生が言うには危険すぎますね（笑））でも、導き方を知っているので、公式を間違えることはまずありません。















私の話はさておき、そろそろまとめますね＾＾












公式の心得

１．　公式は「覚えなければいけない」んじゃなくて、「覚えておくとベンリ」なもの

２．　公式を導く過程を知っていることが大事

３．　間違って覚えるぐらいなら、覚えないほうがいい

４．　少しでも自信がなかったら、導くこと

です＾＾












※この記事の画像は、私が現在販売中の数学の参考書の一部を公開したものです。





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類題を大量に演習する

April 19, 2013, 9:30 pm
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いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

今回は、勉強法のお話です＾＾


基本的には数学の勉強法ですが、ほかの科目にもあてはまるものだと思っています。


範囲が決まっており、学校で使っている問題集などから同じ問題が出る定期試験などでは、比較的点数がとれるのに、模試になると点数がとれない。あるいは定期試験でも見たことがない問題になると解けなくなる。


このような相談がやはり尽きないです。


そのような場合に陥っている共通の傾向は、１つです。

「同じ問題なら解けるけど、同じような問題になると解けない」

ということです。これは非常に多い傾向であり、かつ入試を突破する上では非常にマズイ傾向です。入試には、同じ問題は出ませんが、同じような問題が出るからです。


特に数学においては、この傾向にある人は、実はかなり勉強を頑張っています。しかし、とてもかわいそうなことに、損をしているのです。


1問１問について、解き方をまるまる暗記しようとするからです。


しかし残念ながら、これは間違った数学の勉強法えています。間違えている上に、時間がかかり、かつ定期試験では化けの皮がはがれないので、「間違っていると」気付きません。いろいろな意味で、非常にタチの悪い勉強法です。


学年が上がると、定期試験に実力問題も出されるようになり、模試を受ける機会も増えます。そして、化けの皮がはがれた時に焦ってしまうのです。


そうならないためには、解き方の根本にある原則を理解する必要があります。



例で見てみましょう。
全入試問題でおそらくもっとも見ることができる題材「２次関数の最大、最小」から取り上げます。


  「定義域に制限のある２次関数の最大、最小はグラフを書く。」　
 
これは根本からくる方針です。　　この方針が頭に入っていることで、かなり多くの同じような問題に対処出来るはずです。


しかし、これを知らずに、「１３４番の問題のときはグラフを書く」「１４９番のときはグラフは書かない」といった勉強の仕方では、当然同じような問題のときには対処できません。


方針を理解するほうが覚える量も減りますし、対処できる問題量も増えます。一石二鳥です。これはどの科目にも言えることだとは思いますが、特に数学において威力を発揮するやり方です。


方針をさらに根本まで戻すと、

増加し続ける、減少し続けるかはっきりしないので、グラフを書かないと最大、最小が分からない　ときにはグラフを書く
　
ここまで戻っておけば、さらに対処できる量が増えます。  


数学が得意な人は、問題を解きながら、「どういうとき」に「何をしなければいけないか」が頭に入っています。この整理の仕方が、大幅に暗記量を減らし、ついでに（というか必然的に）対処できる問題量を増やしているのです。



私が販売している　Principle　Piece　も、この「方針」「根本」をなるべく言葉にして、出来る限り「どうしてこの解き方になるのか」が分かるようにしています。


出来る限り暗記量を減らし、かつ出来る限り多くの問題に対処できるためには、Principle　Piece の習得が最も効果的だと信じています。


多くの問題集でも、実はこの根本は書いてあります。ですが、残念ながら目立つようにかかれていないため、どれがその「根本」なのか分からないのです。


「その勉強法なら数学が伸びることは分かるけど、何が根本かが分からない」という方には、超オススメです＾＾　ぜひ、サンプルをご覧になってみてください。


サンプルの一覧はこちらからどうぞ＾＾

新課程で復活する、複素数平面の参考書もあります





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組み合わせの和　Piece CHECK 2013-14

April 20, 2013, 10:00 pm
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

最近週末、東京は雨が降ることが多いですね＾＾；


さて、本日のPiece　CHECKは、Σ計算に関する問題です。


Piece CHECK　2013-14


応用問題ですので、思考時間は１０分、解答はそこから１５分です。２５分で解答出来ればOKです＾＾



































ヒント：ｎCr　のΣと結びつくものはどんな事項があったでしょう？





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式



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組み合わせの和(答)　Piece CHECK 2013-14

April 22, 2013, 12:18 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾



先日の、組み合わせの和の問題の解答です。

(慶応大 総合政策2011　改)


組み合わせの和に関しては、この原則がまず出てくる必要があります。


Principle Piece A-21nCr の和と2項定理は結びつく

(Principle Piece 数学A 集合と場合の数 pp.49~50）

また、一番上から2行目にある式変形は、ｒからｎに係数が変わるため、Σの外に出せます。組み合わせの和において、この式変形は非常に重要なので、かならず押さえておきましょう！

本物の入試問題は、　ｒ（ｒ＋１）　だけが付いていました。誘導はほぼなしです。

なお、理系の人は、(1+x)^n　の2項展開を微分してもOKです。やってみましょう＾＾




＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞










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PR: もったいない！食品ロスを減らしましょう-政府IＴＶ

April 23, 2013, 12:30 am
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食品や食材を無駄なく大切に使うため、「私たちにできること」についてご紹介します
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三角形の個数　Piece CHECK 2013-15

April 23, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

4月にしては寒い日がありましたが、ようやく平年並みの陽気がもどりつつありそうです＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、Σ計算に関する問題です。


Piece CHECK　2013-15


思考時間は５分、解答はそこから１５分です。２０～２５分で解答出来ればOKです＾＾



































ヒント：(1)で、どんなタイプのときは、合同な三角形が何種類できるかを考えましょう。





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学A 集合と場合の数



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三角形の個数　Piece CHECK 2013-15

April 23, 2013, 12:00 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

4月にしては寒い日がありましたが、ようやく平年並みの陽気がもどりつつありそうです＾＾


さて、本日のPiece　CHECKは、三角形の個数に関する問題です。


Piece CHECK　2013-15



思考時間は３分、解答はそこから７分です。１０分で解答したいところです。



































ヒント：sin　という種類がそろっています。あと、そろえなければいけないものはなんでしょう？





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞

★Principle Piece 数学A 集合と場合の数



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三角形の個数(答)　Piece CHECK 2013-15

April 24, 2013, 12:30 am
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いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATUSYAです＾＾


先日の、三角形の個数の問題の解答です。


(弘前大 理工・医　2011)



（１）は大丈夫ですよね＾＾　辺を共有しない場合は、共有する場合(計算しやすい場合)を引くのが原則。

問題は、（２）です。すべでの三角形は正三角形ではないので、回転したものを２０回数えています。なので、少なくともすべて、２０回は同じものがあります。よって、まず２０で割ります。

回転したものを区別しない操作＝頂点を1つ固定する　です。


Principle Piece A-12円順列ではどこか1つ固定

(Principle Piece 数学A 集合と場合の数 pp.26~28）

ですので、すべての三角形は、決まった頂点(たとえば頂点A)を必ず選んでいるとしていいわけですね＾＾

この上で、合同な三角形を２回かぞえているかどうかを分ければOKでした。





＜関連する　Principle Piece　数学シリーズ＞










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