●センター試験過去問の解説です。解き終わってから見てくださいね＾＾
いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾
センター試験が近づいてきましたので、センター試験の過去問を題材に解説をしていきます。
※問題については、お手元の過去問集や、各種予備校のサイト、大学入試センターのHPなどから入手できますので、そちらをご覧下さい＾＾
おそらく、センター試験の過去問の解説やサイトの中で、最も「リアルな」解説になると思います。
【2017年 数学IIB 追試 第４問 ベクトル】
ここでは、センター試験として解くには、どこまで不完全な答案でよいか、といった、時短テクニックに重点を置きます。センター試験で解くときは、上の紫の部分さえ書けばOKです。
今年の追試は空間ベクトルで、題材は正四面体の第４の頂点と面積の最小値ですが、どちらも計算量が比較的多めでした。
最初は内積の計算ですが、ここで意外と時間を取られます。文字x、y、zを含むので慎重に（私はここでミスをしてしまい、後半までそれに気づかずでした・・・）。先にDA、DB、DCを基本ベクトルとした準備をしてくとよかったですね。
(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.63)
内積を準備しておけば、慎重に引き算するだけです。同類項を縦にそろえると計算ミスしにくいです。
次の「ウ」「エ」は瞬殺で答えだけさくっと書けます。そして、Dが正四面体の第４の頂点になるようにしてくれという流となります。教科書的には、DA^2=DB^2=DC^2=2 なのでしょうが、どうやら違うようで、先ほどの「ア」「イ」が、正四面体なら０になることと、長さの条件で出すことになります。
ここで式の扱いに慣れていないと、「いろいろいじって元に戻ってあたふたする」という泥沼状態になります。しっかり原則に従いましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学II 式と証明 p.15）
本問を例にとります。求めたいものはx、y、zの3文字です。従って、文字数と同じだけの条件式（３つ）があれば全て答えが出るはずです。①、②で２つなので、あと１つです。DA=DB=DC=√２ とありますが、どれか１個使えばいいということです。これに気づかないと、解にたどり着くまでの時間をロスすることになります。
方針ですが、①と②は１次式なのでこれで2文字消去して１文字残し（x＞１があるのでxが良いかと）、どれかの長さ＝√２ に代入すれば出せますね＾＾
連立なので解さえ出ればOKですが（過程を日本語を丁寧に書く必要はないですが）、計算はあまり省略出来ないですね。
なお、交点が（２、１、１）であることは座標を書いてみれば明らかです。立方体に埋め込まれた正四面体の形が見えますね。
後半はこの正四面体の辺上に３点をとり、その三角形の面積を考えます。成分は分数や文字が入るので。長さの計算も比較的メンドウです。
なお、面積の式は４倍されて2乗されて、さらに式まで書いてありますが、いわゆる面積公式のルートをと１／２を除いて、分数がこれ以上増えないようにしただけです。ですので、「面積公式のルートの中だけ計算すればいいんだな(・∀・)」と思えればその分時短できます。
内積を１つ手前の段階で用意できるとベスト。文章に「面積の最小値」とありますので、難しい先読みではないはずです。
最後ですが、「いつ最小になるか」だけを聞いているので、「テ～ヌ」の式が出た瞬間に答えることは可能です。平方完成すら不要ですね。
※本問は前半のDの座標を出す部分から差が出ると思われますので、差がつきやすいです。このタイプの問題は、数学が得意な人には有利な問題で、そのまま（計算さえ合えば）満点いけます。
本コーナーでは、過去問の解説などからは見えない部分を解説していくことで、他にはない、独特の観点から解説をしていきます。
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