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先日の、100で割った余りの問題の解答です。
解答
（久留米大 医 2013）
解説
今回は下２桁についてです。下２桁＝１００で割った余りと読み替えることは比較的容易かと思いますが、では「１００で割った余りで分類しなければいけないのか・・・」と思うところがスタートになります。
たしかに、100で割った余りで分類すれば確実に答えは得られますが、さすがにしんどすぎます。
１００＝１０^2 であることを利用すると、10で割った余りでもある程度は把握できるはずです。その際には、二項展開を利用することが原則でしたね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.34）
m＝１０q＋r とおいて2m^5 を二項展開してみると、結局最後の2r^5だけが下二桁に関わる式だと分かります。係数の２や、５乗であることで二項係数が全て５の倍数であることなどにより、ほとんどが100の倍数になっています。
あとは、r＝０～９で、２r^5の下二桁を求めます。５乗するのは少ししんどい数値もありますので、合同式でうまく減らしていきましょう。
※ただし、１桁については、累乗をある程度記憶しておくことは重要です。私の解答例でいうと、r＝８のときの2r^5は65536と、まともに数値を計算した値になっていますが、これは知っているからで、一切計算していません。２×８^5=2^16 とすることで求めました。
値をある程度知っていることは、大きな時間短縮につながりますね＾＾
背景：下●桁の問題
下１桁、下２桁などの問題は、ほぼ全て整数問題の部類に入り、10や100で割った余りを議論することで解決します。代表的な例としては、以下のような問題でしょう。
・自然数について、nとn^5 の１の位は一致することを示せ。
→n^5-nが10の倍数であることを示す。５でわった余りなどで分類すると出来ます。
・2乗しても下２桁が変わらない自然数の下二桁を求めよ。
→n^2-n が100の倍数となるようなnを10～99の間で求める。→ 76、25
なお、下２桁が７６、２５の自然数は、何乗しても下２桁は76、25のままです。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
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