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先日の、直角三角形と整数の問題の解答です。
解答
（琉球大 理系 後期 2013）
解説
今回は直角三角形と整数絡みの問題です。直角三角形の3辺といえば、三平方の定理が成り立ちますので、この式が成り立つためには、a,b,cがどんな数字であるかを吟味していきます。
面積が３の倍数ということなので、１／２倍する前のａｂは６の倍数であることを示す必要がありそうです。６＝２×３なので、２の倍数かつ３の倍数となります。
等式がある場合の証明問題は、余りを考えて矛盾を導くことが原則です。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.28～29）
これにより、式として出た余り64をｐ－４で割ると、余りが４になることになります。あとは全調査です。整数問題では、ある程度候補を絞ったら、全調査したほうが早いという感覚も常に持っておきましょう。
背景：三平方の定理を満たす整数
a^2+b^2=c^2 を満たす自然数は「ピタゴラス数」と呼ばれ、今回のような性質の他にも、以下に示すようなさまざまな性質があります。余裕があれば証明してみましょう。
・ピタゴラス数の偶数は、４の倍数である。
・a,b,cのうちすくなくとも１つは５の倍数である。
・ａｂｃは６０の倍数である。（３、４、５の倍数があることから導かれる）
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
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Principle Piece 数学II・B 第１回センター模試
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