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先日の、2016年 良問BEST10 の第２位の問題の解答です＾＾
（北海道大 後期 理系2016）
総合的な図形問題です。三角形が領域の内部にある条件ということで、「図形的考察→立式」の過程をただしく踏まないと、全く手が付かないか、手がついても計算量が膨れますので、完答できた人はほとんどいないと思われます。
（１）ですが、座標と不等式領域を見て、点Aは領域の下の境界線、Bは領域の上の境界線上にあることを見抜きます。ここは出来たと思います。
次に、０＜ａ＜２であることの意味を考えます。０だとＡとOが一致してしまうのでこれはいいでしょう。ａ＝２のときは、ＯＡが上の境界線と接してしまうので、問題文の条件は、ＯＡは領域内に入る条件を示唆しています。
したがって、ＯＢ、ＡＢが境界内にある条件を考えればよい、ということになります。ＯＢについては、直前の考察が役に立ちます。仮にa=2とした場合に接してしまうその点は｜ｘ｜＝１です。もしBのｘ座標が｜ｘ｜＞１のとき（ここは図形的に考察）、OBは放物線と２点で交わりますので、線分の一部が領域の外に出ます。したがって、－１≦ｂ≦１ということになります。
ABもOB同様に、接するときを出して、「それより図形的にどうなっていればよいか」を考えるのがよいでしょう。このとき、接点はBですから、Bから考えます。「通る」よりも「接する」ですよね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.26-28、究極原則に変更）
Bにおける接線がAを通るとしたときの、AとBの位置関係を考えます。Bがこの位置よりどうなっていればいいかを考えれば、答えは出ますね＾＾
なお、ABを通る直線の式と上の境界を連立して判別式＝０でも出来ますが、かなりの計算量になります。
（２）は、（１）の条件の下での面積の式の最大値です。ここからは数式的に処理できますが、２変数関数なので、１文字固定です。（１）の聞き方からしても「ａ」固定がなんとなく見えますね。
軸のｘ＝ａ／２が、（１）で足した条件のａ－１≦ｂ≦１の真ん中である事に気づくと、さくさく進みそうです。最大は両端で起こります。あとは、その中でａを動かせばＯＫです。
ただし、途中で絶対値を外す際の議論など、細かいことに気を配る必要があります。ただし、そこでもたついているとほとんど点数はないでしょう。
多少は減点覚悟で、1文字固定の解答を仕上げるほうが点数があるかもしれません。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
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