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先日の 漸化式と極限 の問題の解答です＾＾
(名古屋市立大 薬 ２０１１）
漸化式と極限を絡めた問題で、一般項を求めることが出来ないタイプです。
この手の問題では、不等式の証明をさせて、最終的に極限を求めさせる流れですが、極限を求める際には、等比数列的な不等式を作っていくものが殆どです。
この際に、威力を発揮する原則があります。
（Principle Piece 数学Ⅲ 微分法の応用 pp.51-53）
詳しい使い方は最後の極限のところで見てみましょう。
まず（１）については、接線の方程式とx軸との交点を求める作業なので、そんなに難しくはないでしょう。x_n+1=・・・の形にしていないのは、この時点ではcos(x_n)が０にならないとは言い切れないからです。 「関係式を求めよ」なので、０かもしれない数で割って減点されないようにしましょう。
（２）は、極限の前段階としてよく聞かれます。極限がπになるのだなと予想を付けるヒントとなる証明問題です。nに関する証明問題なので、帰納法がいいでしょう。
n＝k → k＋１ の部分では、関係式の関数として出てくる x－tanx が単調減少であることを利用して小めするといいでしょう。関係式やその絶対値は単調減少になることが多いです。
最後の（３）で平均値の定理を用います。平均値の定理を用いると、｜x_n－π｜と｜x_n+1－π｜の比が、f’（c）で表せます。
これは、π＝f（π） のように、●＝f（●）と置き換えられることがポイントです。極限値では必ずそれが成り立つので、平均値の定理が使える形をしていると思ってOKです。
そのf’（c）が１より小さい数字であれば、等比級数的に不等式が立てられるため、πとの差が等比級数的に小さくなり、極限が０になるということです。
少しレベルが高めの原則ですが、入試にそのまま使える手法として、非常に有効ですので、ぜひ覚えておきましょう＾＾
【１】「こんなの簡単すぎる！！」と思った人は、Pieceが身についています＾＾今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
【２】解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
【３】解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
【２】解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
【３】解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。
Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。
＜関連するPrinciple Piece＞
＜過去のPiece CHECK＞
2年分のPiece CHECKを分野別にしてあります。これだけ見れば、問題集１冊分ぐらいあります！
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